Упр.35.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) $$3^{x+1}+3^{1-x}=10$$;
в) $$2^x+2^{2-x}=5$$;
б) $$5^{2\sqrt{x}+1}+1=6\cdot5^{\sqrt{x}}$$;
г) $$3^{\sqrt{x}+1}-29+18\cdot3^{-\sqrt{x}}=0$$.
а) Введём новую переменную: $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$3^{x+1}+3^{1-x}=10$$
$$3\cdot 3^x+3\cdot 3^{-x}=10$$
$$3t+\frac{3}{t}=10.$$
Умножим на $$t$$:
$$3t^2-10t+3=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64.$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$
$$t_1=3,\quad t_2=\frac13.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$
$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1.$$
б) Введём новую переменную: $$t=5^{\sqrt{x}},\quad t>0.$$ Тогда
$$5^{2\sqrt{x}+1}+1=6\cdot 5^{\sqrt{x}}$$
$$5t^2-6t+1=0.$$
$$D=6^2-4\cdot 5\cdot 1=16.$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=\frac15.$$
Тогда
$$5^{\sqrt{x}}=1 \Rightarrow \sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0,$$
$$5^{\sqrt{x}}=\frac15 \Rightarrow \sqrt{x}=-1,$$
но это невозможно, так как $$\sqrt{x}\ge 0.$$
в) Введём новую переменную: $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$2^x+2^{2-x}=5$$
$$t+\frac{4}{t}=5.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-5t+4=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 4=9.$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=4.$$
Тогда
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$
г) Введём новую переменную: $$t=3^{\sqrt{x}},\quad t>0.$$ Тогда
$$3^{\sqrt{x}+1}-29+18\cdot 3^{-\sqrt{x}}=0$$
$$3t-29+\frac{18}{t}=0.$$
Умножим на $$t$$:
$$3t^2-29t+18=0.$$
$$D=29^2-4\cdot 3\cdot 18=625.$$
$$t_{1,2}=\frac{29\pm 25}{6}.$$
$$t_1=\frac23,\quad t_2=9.$$
Тогда
$$3^{\sqrt{x}}=\frac23 \Rightarrow \sqrt{x}=\log_3\frac23 \Rightarrow x=\log_3^2\frac23,$$
$$3^{\sqrt{x}}=9 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$
Ответ
а) $$-1; 1$$; б) $$0$$; в) $$0; 2$$; г) $$\log_3^2\frac23; 4$$.
