Упр.35.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 3^(x+1)+3^(1-x)=10; в) 2^x+2^(2-x)=5;
б) 5^(2vx+1)+1=6·5^(vx); г) 3^(vx+1)-29+18·3^(-vx)=0.

а) Введём новую переменную: $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$3^{x+1}+3^{1-x}=10$$

$$3\cdot 3^x+3\cdot 3^{-x}=10$$

$$3t+\frac{3}{t}=10.$$

Умножим на $$t$$:

$$3t^2-10t+3=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64.$$

$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$

$$t_1=3,\quad t_2=\frac13.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$

$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1.$$

б) Введём новую переменную: $$t=5^{\sqrt{x}},\quad t>0.$$ Тогда

$$5^{2\sqrt{x}+1}+1=6\cdot 5^{\sqrt{x}}$$

$$5t^2-6t+1=0.$$

$$D=6^2-4\cdot 5\cdot 1=16.$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}.$$

$$t_1=1,\quad t_2=\frac15.$$

Тогда

$$5^{\sqrt{x}}=1 \Rightarrow \sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0,$$

$$5^{\sqrt{x}}=\frac15 \Rightarrow \sqrt{x}=-1,$$

но это невозможно, так как $$\sqrt{x}\ge 0.$$

в) Введём новую переменную: $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$2^x+2^{2-x}=5$$

$$t+\frac{4}{t}=5.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-5t+4=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 4=9.$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$

$$t_1=1,\quad t_2=4.$$

Тогда

$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

г) Введём новую переменную: $$t=3^{\sqrt{x}},\quad t>0.$$ Тогда

$$3^{\sqrt{x}+1}-29+18\cdot 3^{-\sqrt{x}}=0$$

$$3t-29+\frac{18}{t}=0.$$

Умножим на $$t$$:

$$3t^2-29t+18=0.$$

$$D=29^2-4\cdot 3\cdot 18=625.$$

$$t_{1,2}=\frac{29\pm 25}{6}.$$

$$t_1=\frac23,\quad t_2=9.$$

Тогда

$$3^{\sqrt{x}}=\frac23 \Rightarrow \sqrt{x}=\log_3\frac23 \Rightarrow x=\log_3^2\frac23,$$

$$3^{\sqrt{x}}=9 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$

Ответ

а) $$-1; 1$$; б) $$0$$; в) $$0; 2$$; г) $$\log_3^2\frac23; 4$$.