Упр.35.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) v(2x + 3) + v(x + 1) = 3x + 2v(2x^2 + 5x + 3) — 16;
б) x^2 — 3x + 5v(9x^2 + x — 2) = 2,75 — (28/9) x;
в) 0,5(v(x + 4) + v(x — 4)) + 6 = v(x^2 — 16) + x;
г) vx + v(x + 7) + v(x^2 + 7x) + 2x = 35.

1. а) Обозначим $$y=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}.$$ Тогда

   $$y^2=2x+3+x+1+2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}.$$

   Из уравнения получаем:

   $$y=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16,$$

   то есть

   $$y^2-y-20=0.$$

   $$D=1+80=81,\quad y=\frac{1\pm 9}{2}.$$

   С учётом того, что $$y>0,$$ получаем $$y=5.$$

   Проверка:

   $$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5.$$

   При $$x=3$$ левая часть равна $$\sqrt9+\sqrt4=3+2=5.$$

   Ответ: $$3$$.

2. б) Обозначим $$y=\sqrt{9x^2+x-2}.$$ Тогда исходное уравнение можно преобразовать к виду

   $$y^2+45y-22{,}75=0.$$

   Умножим на $$4$$:

   $$4y^2+180y-91=0.$$

   $$D=180^2+4\cdot 4\cdot 91=33856,$$

   $$y=\frac{-180\pm 184}{8}.$$

   С учётом условия $$y\ge 0$$ получаем

   $$y=\frac12.$$

   Тогда

   $$\sqrt{9x^2+x-2}=\frac12,$$

   $$9x^2+x-2=\frac14,$$

   $$36x^2+4x-9=0.$$

   $$D=4^2+4\cdot 36\cdot 9=1312=16\cdot 82,$$

   $$x=\frac{-4\pm \sqrt{1312}}{72}=\frac{-4\pm 4\sqrt{82}}{72}=\frac{-1\pm \sqrt{82}}{18}.$$

   Ответ: $$\frac{-1-\sqrt{82}}{18},\ \frac{-1+\sqrt{82}}{18}.$$

3. в) Обозначим $$y=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}.$$ Тогда

   $$y^2=x+4+x-4+2\sqrt{(x+4)(x-4)}=2x+2\sqrt{x^2-16}.$$

   Из уравнения получаем

   $$\frac{y^2}{2}+6=\sqrt{x^2-16}+x.$$

   После преобразований:

   $$y+12=y^2,$$

   $$y^2-y-12=0.$$

   $$D=1+48=49,\quad y=\frac{1\pm 7}{2}.$$

   С учётом $$y>0$$ имеем $$y=4.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=4.$$

   Проверим значение $$x=5$$:

   $$\sqrt{5+4}+\sqrt{5-4}=3+1=4.$$

   Ответ: $$5$$.

4. г) Обозначим $$y=\sqrt{x}+\sqrt{x+7}.$$ Тогда

   $$y^2=x+x+7+2\sqrt{x(x+7)}=2x+7+2\sqrt{x^2+7x}.$$

   Из уравнения:

   $$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^2+7x}+2x=35,$$

   получаем

   $$y+y^2=42.$$

   Тогда

   $$y^2+y-42=0.$$

   $$D=1+168=169,\quad y=\frac{-1\pm 13}{2}.$$

   С учётом $$y>0$$ получаем $$y=6.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}=6.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+x+7+2\sqrt{x^2+7x}=36,$$

   $$2\sqrt{x^2+7x}=29-2x.$$

   После возведения в квадрат:

   $$4(x^2+7x)=(29-2x)^2,$$

   $$4x^2+28x=841-116x+4x^2,$$

   $$144x=841,$$

   $$x=\frac{841}{144}.$$

   Ответ: $$\frac{841}{144}.$$