Упр.35.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) $$\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-x+7}=\sqrt{2x^2-2x+21};$$
б) $$x^2-4x-6=\sqrt{2x^2-8x+12};$$
в) $$\sqrt{x^2+x+7}+\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{3x^2+3x+19};$$
г) $$\sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{x^3+x^2+2}=3.$$
а) Введём новую переменную $$y=x^2-x.$$ Тогда уравнение примет вид
$$\sqrt{y+2}+\sqrt{y+7}=\sqrt{2y+21}.$$
Возведём в квадрат:
$$y+2+2\sqrt{(y+2)(y+7)}+y+7=2y+21,$$
$$2\sqrt{y^2+9y+14}=12,$$
$$\sqrt{y^2+9y+14}=6,$$
$$y^2+9y+14=36,$$
$$y^2+9y-22=0.$$
$$D=9^2+4\cdot 22=169,$$
$$y_1=\frac{-9-13}{2}=-11,\qquad y_2=\frac{-9+13}{2}=2.$$
Проверим по области определения: при $$y=-11$$ правая часть не имеет смысла, значит это значение не подходит. При $$y=2$$ получаем
$$x^2-x=2,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$x=-1 \text{ или } x=2.$$
б) Введём новую переменную $$y=x^2-4x.$$ Тогда
$$y-6=\sqrt{2y+12}.$$
Возведём в квадрат:
$$y^2-12y+36=2y+12,$$
$$y^2-14y+24=0.$$
$$D=14^2-4\cdot 24=100,$$
$$y_1=\frac{14-10}{2}=2,\qquad y_2=\frac{14+10}{2}=12.$$
Проверка по ОДЗ: $$y-6\ge 0,$$ значит $$y\ge 6,$$ поэтому $$y=2$$ не подходит. Остаётся
$$x^2-4x=12,$$
$$x^2-4x-12=0,$$
$$x=-2 \text{ или } x=6.$$
в) Введём новую переменную $$y=x^2+x.$$ Тогда
$$\sqrt{y+7}+\sqrt{y+2}=\sqrt{3y+19}.$$
Возведём в квадрат:
$$y+7+2\sqrt{(y+7)(y+2)}+y+2=3y+19,$$
$$2\sqrt{y^2+9y+14}=y+10.$$
Возведём в квадрат ещё раз:
$$4(y^2+9y+14)=(y+10)^2,$$
$$4y^2+36y+56=y^2+20y+100,$$
$$3y^2+16y-44=0.$$
$$D=16^2+4\cdot 3\cdot 44=784,$$
$$y_1=\frac{-16-28}{6}=-\frac{22}{3},\qquad y_2=\frac{-16+28}{6}=2.$$
По ОДЗ подходит только $$y=2$$. Тогда
$$x^2+x=2,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$x=-2 \text{ или } x=1.$$
г) Введём новую переменную $$y=x^3+x^2.$$ Тогда
$$\sqrt{y-1}+\sqrt{y+2}=3.$$
Перенесём и возведём в квадрат:
$$y-1+2\sqrt{(y-1)(y+2)}+y+2=9,$$
$$2\sqrt{y^2+y-2}=8-2y,$$
$$\sqrt{y^2+y-2}=4-y.$$
Возведём в квадрат:
$$y^2+y-2=16-8y+y^2,$$
$$9y=18,$$
$$y=2.$$
Тогда
$$x^3+x^2=2,$$
$$x^3+x^2-2=0,$$
$$x=1$$
подходит.
Ответ
а) $$-1; 2$$; б) $$-2; 6$$; в) $$-2; 1$$; г) $$1$$.
