Упр.35.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) $$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}+9\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=6$$;
б) $$\left(\frac{6x-5}{x+2}\right)^{1/3}+6\left(\frac{x+2}{6x-5}\right)^{1/3}=7$$;
в) $$4\sqrt{\frac{3x-2}{x+4}}+9\sqrt{\frac{x+4}{3x-2}}=12$$;
г) $$\left(\frac{5x-1}{x+3}\right)^{1/3}+5\left(\frac{x+3}{5x-1}\right)^{1/3}=6$$.
а) Введём замену:
$$y=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}.$$
Тогда
$$y+\frac{9}{y}=6.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-6y+9=0,$$
$$\left(y-3\right)^2=0,$$
$$y=3.$$
Возвращаемся к замене:
$$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=3,$$
$$\frac{2x+3}{2x-1}=9,$$
$$2x+3=18x-9,$$
$$16x=12,$$
$$x=\frac34.$$
б) Введём замену:
$$y=\sqrt[3]{\frac{6x-5}{x+2}}.$$
Тогда
$$y+\frac{6}{y}=7.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-7y+6=0,$$
$$\left(y-1\right)\left(y-6\right)=0,$$
$$y=1 \text{ или } y=6.$$
1) Если $$y=1,$$ то
$$\sqrt[3]{\frac{6x-5}{x+2}}=1,$$
$$\frac{6x-5}{x+2}=1,$$
$$6x-5=x+2,$$
$$5x=7,$$
$$x=\frac75.$$
2) Если $$y=6,$$ то
$$\sqrt[3]{\frac{6x-5}{x+2}}=6,$$
$$\frac{6x-5}{x+2}=216,$$
$$6x-5=216x+432,$$
$$-210x=437,$$
$$x=-\frac{437}{210}.$$
в) Введём замену:
$$y=\sqrt{\frac{3x-2}{x+4}}.$$
Тогда
$$4y+\frac{9}{y}=12.$$
Умножим на $$y$$:
$$4y^2-12y+9=0,$$
$$\left(2y-3\right)^2=0,$$
$$y=\frac32.$$
Возвращаемся к замене:
$$\sqrt{\frac{3x-2}{x+4}}=\frac32,$$
$$\frac{3x-2}{x+4}=\frac94,$$
$$12x-8=9x+36,$$
$$3x=44,$$
$$x=\frac{44}{3}.$$
г) Введём замену:
$$y=\sqrt[3]{\frac{5x-1}{x+3}}.$$
Тогда
$$y+\frac{5}{y}=6.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-6y+5=0,$$
$$\left(y-1\right)\left(y-5\right)=0,$$
$$y=1 \text{ или } y=5.$$
1) Если $$y=1,$$ то
$$\sqrt[3]{\frac{5x-1}{x+3}}=1,$$
$$\frac{5x-1}{x+3}=1,$$
$$5x-1=x+3,$$
$$4x=4,$$
$$x=1.$$
2) Если $$y=5,$$ то
$$\sqrt[3]{\frac{5x-1}{x+3}}=5,$$
$$\frac{5x-1}{x+3}=125,$$
$$5x-1=125x+375,$$
$$-120x=376,$$
$$x=-\frac{47}{15}.$$
Ответ
а) $$\frac34$$; б) $$\frac75,\ -\frac{437}{210}$$; в) $$\frac{44}{3}$$; г) $$1,\ -\frac{47}{15}$$.
