Упр.35.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной:
   а) $$2\sqrt{x}-3x^{\frac{1}{4}}-2=0$$;
   в) $$3\sqrt{x}-5x^{\frac{1}{4}}+2=0$$;
   б) $$x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}}-2=0$$;
   г) $$x^{\frac{1}{3}}-2x^{\frac{1}{6}}-3=0$$.

1. а) Обозначим $$t=\sqrt[4]{x}.$$ Тогда $$\sqrt{x}=t^2,$$ и уравнение принимает вид

   $$2t^2-3t-2=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25.$$

   $$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$

   Получаем:

   $$t_1=2,\quad t_2=-\frac12.$$

   Так как $$t=\sqrt[4]{x}\ge 0,$$ то подходит только $$t=2.$$ Тогда

   $$x=2^4=16.$$

2. б) Обозначим $$t=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2,$$ и уравнение принимает вид

   $$t^2-t-2=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9.$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

   Получаем:

   $$t_1=2,\quad t_2=-1.$$

   Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ то подходит только $$t=2.$$ Тогда

   $$x=2^6=64.$$

3. в) Обозначим $$t=\sqrt[4]{x}.$$ Тогда $$\sqrt{x}=t^2,$$ и уравнение принимает вид

   $$3t^2-5t+2=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1.$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{6}.$$

   Получаем:

   $$t_1=\frac23,\quad t_2=1.$$

   Оба значения подходят, поэтому

   $$x_1=\left(\frac23\right)^4=\frac{16}{81},\qquad x_2=1^4=1.$$

4. г) Обозначим $$t=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2,$$ и уравнение принимает вид

   $$t^2-2t-3=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16.$$

   $$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

   Получаем:

   $$t_1=-1,\quad t_2=3.$$

   Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ то подходит только $$t=3.$$ Тогда

   $$x=3^6=729.$$

Ответ

а) $$16$$; б) $$64$$; в) $$\frac{16}{81},\,1$$; г) $$729$$.