Упр.35.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной: а) $$x-17\sqrt{x}+16=0$$; в) $$x-7\sqrt{x}+12=0$$; б) $$2x^{\frac{1}{3}}-\frac{7}{x^{\frac{1}{3}}}=5$$; г) $$3\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}+1=0$$.

1. а) Обозначим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и уравнение принимает вид

   $$t^2-17t+16=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=17^2-4\cdot 16=289-64=225,$$

   $$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{2}.$$

   Получаем:

   $$t_1=1,\quad t_2=16.$$

   Тогда

   $$x_1=1^2=1,\quad x_2=16^2=256.$$

2. б) Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}$$, тогда уравнение запишется так:

   $$2t-\frac{7}{t}=5,$$

   где $$t\ne 0$$. Умножим на $$t$$:

   $$2t^2-7=5t,$$

   $$2t^2-5t-7=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=5^2+4\cdot 2\cdot 7=25+56=81,$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 9}{4}.$$

   Тогда

   $$t_1=-1,\quad t_2=\frac{7}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x_1=(-1)^3=-1,\quad x_2=\left(\frac{7}{2}\right)^3=\frac{343}{8}.$$

3. в) Обозначим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и получаем

   $$t^2-7t+12=0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(t-3\right)\left(t-4\right)=0.$$

   Отсюда

   $$t_1=3,\quad t_2=4.$$

   Тогда

   $$x_1=3^2=9,\quad x_2=4^2=16.$$

4. г) Обозначим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t>0$$ и уравнение примет вид

   $$3t-\frac{4}{t}+1=0.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$3t^2+t-4=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=1^2+4\cdot 3\cdot 4=49,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{6}.$$

   Получаем:

   $$t_1=-\frac{4}{3},\quad t_2=1.$$

   Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0$$, подходит только $$t=1$$. Тогда

   $$x=1.$$

Ответ

а) $$1; 256$$; б) $$-1; \frac{343}{8}$$; в) $$9; 16$$; г) $$1$$.