Упр.35.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 8x^6-7x^3-1=0; в) x^6-7x^3-8=0;
б) 9x^3-(2/x)^3=1; г) 12x^4-1=(1/x)^4.

а) Введём новую переменную: $$t=x^3.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$8t^2-7t-1=0.$$

$$D=(-7)^2-4\cdot 8\cdot(-1)=49+32=81.$$

$$t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{16}.$$

$$t_1=-\frac18,\quad t_2=1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^3=-\frac18 \Rightarrow x=-\frac12,$$

$$x^3=1 \Rightarrow x=1.$$

б) Обозначим $$t=x^3.$$ Тогда

$$9x^3-\left(\frac{2}{x}\right)^3=1$$

$$9x^3-\frac{8}{x^3}=1.$$

Умножим на $$x^3$$ $$\left(x\neq 0\right):$$

$$9x^6-x^3-8=0,$$

то есть

$$9t^2-t-8=0.$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 9\cdot(-8)=1+288=289.$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 17}{18}.$$

$$t_1=-\frac89,\quad t_2=1.$$

Тогда

$$x^3=-\frac89 \Rightarrow x=-\frac{2}{\sqrt[3]{9}},$$

$$x^3=1 \Rightarrow x=1.$$

в) Пусть $$t=x^3.$$ Тогда

$$x^6-7x^3-8=0$$

$$t^2-7t-8=0.$$

$$D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81.$$

$$t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2}.$$

$$t_1=-1,\quad t_2=8.$$

Следовательно,

$$x^3=-1 \Rightarrow x=-1,$$

$$x^3=8 \Rightarrow x=2.$$

г) Введём переменную $$t=x^4.$$ Тогда

$$12x^4-1=\left(\frac{1}{x}\right)^4$$

$$12x^8-x^4=1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$12x^8-x^4-1=0,$$

то есть

$$12t^2-t-1=0.$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 12\cdot(-1)=1+48=49.$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{24}.$$

$$t_1=-\frac14,\quad t_2=\frac13.$$

Так как $$t=x^4\ge 0,$$ значение $$t_1=-\frac14$$ не подходит. Тогда

$$x^4=\frac13 \Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}.$$

Ответ

а) $$-\frac12,\ 1$$; б) $$-\frac{2}{\sqrt[3]{9}},\ 1$$; в) $$-1,\ 2$$; г) $$-\frac{1}{\sqrt[4]{3}},\ \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$$.