Упр.35.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение методом введения новой переменной:

а) $$x^4-5x^2+4=0$$;

б) $$(x-1)^4-5(x^2-2x+1)+4=0$$;

в) $$x^4+4x^2-5=0$$;

г) $$(3x-2)^4+9x^2-12x=16$$.

1. а) Введём новую переменную $$y=x^2$$. Тогда получаем уравнение

   $$y^2-5y+4=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=5^2-4\cdot 4=25-16=9,$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$

   Отсюда $$y_1=1,$$ $$y_2=4.$$

   Тогда

   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$

   $$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

2. б) Заметим, что $$x^2-2x+1=(x-1)^2.$$ Тогда

   $$(x-1)^4-5(x-1)^2+4=0.$$

   Пусть $$y=(x-1)^2.$$ Получаем

   $$y^2-5y+4=0.$$

   Как и в пункте а),

   $$y_1=1,\quad y_2=4.$$

   1) Если $$(x-1)^2=1,$$ то

   $$x^2-2x+1=1,$$

   $$x^2-2x=0,$$

   $$x(x-2)=0,$$

   откуда $$x=0$$ или $$x=2.$$

   2) Если $$(x-1)^2=4,$$ то

   $$x^2-2x+1=4,$$

   $$x^2-2x-3=0,$$

   $$(x-3)(x+1)=0,$$

   откуда $$x=3$$ или $$x=-1.$$

3. в) Введём переменную $$y=x^2.$$ Тогда

   $$y^2+4y-5=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}.$$

   Получаем $$y_1=-5,$$ $$y_2=1.$$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ значение $$y=-5$$ не подходит. Остаётся

   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

4. г) Перенесём $$16$$ в левую часть и заметим, что $$9x^2-12x+4=(3x-2)^2.$$ Тогда

   $$(3x-2)^4+(3x-2)^2-20=0.$$

   Пусть $$y=(3x-2)^2.$$ Получаем

   $$y^2+y-20=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=1^2+4\cdot 20=81,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}.$$

   Отсюда $$y_1=-5,$$ $$y_2=4.$$

   Значение $$y=-5$$ не подходит, так как $$(3x-2)^2\ge 0.$$

   Остаётся

   $$(3x-2)^2=4,$$

   $$3x-2=\pm 2.$$

   Тогда

   $$3x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{3},$$

   $$3x=0 \Rightarrow x=0.$$

Ответ

а) $$-2;\,-1;\,1;\,2$$; б) $$-1;\,0;\,2;\,3$$; в) $$-1;\,1$$; г) $$0;\,\frac{4}{3}$$.