Упр.35.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) x^4-5x^2+4=0;
б) (x-1)^4-5(x^2-2x+1)+4=0;
в) x^4+4x^2-5=0;
г) (3x-2)^4+9x^2-12x=16.

Подробный ответ

а) Введём новую переменную $$y=x^2$$. Тогда получаем уравнение
$$y^2-5y+4=0.$$
Найдём корни:
$$D=5^2-4\cdot 4=25-16=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
Отсюда $$y_1=1,$$ $$y_2=4.$$
Тогда
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$
б) Заметим, что $$x^2-2x+1=(x-1)^2.$$ Тогда
$$ (x-1)^4-5(x-1)^2+4=0.$$
Пусть $$y=(x-1)^2.$$ Получаем
$$y^2-5y+4=0.$$
Как и в пункте а),
$$y_1=1,\quad y_2=4.$$
1) Если $$ (x-1)^2=1,$$ то
$$x^2-2x+1=1,$$
$$x^2-2x=0,$$
$$x(x-2)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=2.$$
2) Если $$ (x-1)^2=4,$$ то
$$x^2-2x+1=4,$$
$$x^2-2x-3=0,$$
$$ (x-3)(x+1)=0,$$
откуда $$x=3$$ или $$x=-1.$$
в) Введём переменную $$y=x^2.$$ Тогда
$$y^2+4y-5=0.$$
Найдём корни:
$$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36,$$
$$y_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}.$$
Получаем $$y_1=-5,$$ $$y_2=1.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ значение $$y=-5$$ не подходит. Остаётся
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$
г) Перенесём $$16$$ в левую часть и заметим, что $$9x^2-12x+4=(3x-2)^2.$$ Тогда
$$ (3x-2)^4+(3x-2)^2-20=0.$$
Пусть $$y=(3x-2)^2.$$ Получаем
$$y^2+y-20=0.$$
Найдём корни:
$$D=1^2+4\cdot 20=81,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}.$$
Отсюда $$y_1=-5,$$ $$y_2=4.$$
Значение $$y=-5$$ не подходит, так как $$ (3x-2)^2\ge 0.$$
Остаётся
$$ (3x-2)^2=4,$$
$$3x-2=\pm 2.$$
Тогда
$$3x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{3},$$
$$3x=0 \Rightarrow x=0.$$