Упр.35.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) log(2; 3 + 2x — x^2) = tg^2 (?x/4) + ctg^2 (?x/4);
б) log(1/3; 3 + |sin(x)|) = 2^(|x|) — 2;
в) 2cos(x/3) = 5^x + 5^(-x);
г) 3^(|x — 0,25| + 2) = 5 + 4sin(2?x).

1. $$\log_2(3+2x-x^2)=\tg^2\frac{\pi x}{4}+\ctg^2\frac{\pi x}{4}.$$

   Рассмотрим левую часть. Функция $$3+2x-x^2$$ принимает наибольшее значение в вершине параболы:

   $$x_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,\qquad y_0=3+2\cdot1-1^2=4.$$

   Значит,

   $$\log_2(3+2x-x^2)\le \log_2 4=2.$$

   Для правой части положим $$a=\tg\frac{\pi x}{4}$$. Тогда

   $$a^2+\frac{1}{a^2}\ge 2,$$

   следовательно,

   $$\tg^2\frac{\pi x}{4}+\ctg^2\frac{\pi x}{4}\ge 2.$$

   Равенство достигается при $$\tg\frac{\pi x}{4}=1,$$ то есть при $$\frac{\pi x}{4}=\frac{\pi}{4},$$ откуда $$x=1.$$

   Проверка: $$\log_2(3+2\cdot1-1^2)=\log_2 4=2,$$ а

   $$\tg^2\frac{\pi}{4}+\ctg^2\frac{\pi}{4}=1^2+1^2=2.$$

2. $$\log_{\frac13}(3+|\sin x|)=2^{|x|}-2.$$

   Так как $$|x|\ge 0,$$ то

   $$2^{|x|}\ge 1,\qquad 2^{|x|}-2\ge -1.$$

   С другой стороны, $$0\le |\sin x|\le 1,$$ значит

   $$3\le 3+|\sin x|\le 4.$$

   Так как основание логарифма $$\frac13<1,$$ функция $$\log_{\frac13} t$$ убывает, поэтому

   $$\log_{\frac13}4\le \log_{\frac13}(3+|\sin x|)\le \log_{\frac13}3,$$

   то есть

   $$-1\le \log_{\frac13}(3+|\sin x|)\le 0.$$

   Чтобы равенство выполнялось, нужно взять минимальное значение левой части и минимальное значение правой части:

   $$3+|\sin x|=3,\qquad 2^{|x|}-2=-1.$$

   Отсюда $$|\sin x|=0$$ и $$|x|=0,$$ значит $$x=0.$$

3. $$2\cos\frac{x}{3}=5^x+5^{-x}.$$

   Для правой части положим $$a=5^x>0.$$ Тогда

   $$a+\frac1a\ge 2,$$

   следовательно,

   $$5^x+5^{-x}\ge 2.$$

   Для левой части известно, что

   $$-1\le \cos\frac{x}{3}\le 1,$$

   значит

   $$2\cos\frac{x}{3}\le 2.$$

   Чтобы равенство было возможно, нужно одновременно

   $$5^x+5^{-x}=2,\qquad 2\cos\frac{x}{3}=2.$$

   Из первого равенства получаем $$5^x=1,$$ значит $$x=0.$$ Проверка:

   $$2\cos 0=2,\qquad 5^0+5^0=1+1=2.$$

4. $$3^{|x-0{,}25|+2}=5+4\sin 2\pi x.$$

   Так как $$|x-0{,}25|\ge 0,$$ то

   $$3^{|x-0{,}25|+2}\ge 3^2=9.$$

   А поскольку $$-1\le \sin 2\pi x\le 1,$$ то

   $$5+4\sin 2\pi x\le 9.$$

   Следовательно, равенство возможно только при

   $$3^{|x-0{,}25|+2}=9,\qquad 5+4\sin 2\pi x=9.$$

   Из первого равенства:

   $$|x-0{,}25|=0,\qquad x=0{,}25=\frac14.$$

   Проверка:

   $$5+4\sin\frac{\pi}{2}=5+4\cdot1=9.$$

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=0$$; в) $$x=0$$; г) $$x=\frac14$$.