Упр.35.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение, используя функционально-графические методы:
   а) $$5^v\left(1-\operatorname{tg}(2{,}5?x)\right)=20x-100x^2$$;
   б) $$\log_2(12x-4x^2-5)=3+\cos(2?x)$$;
   в) $$0{,}5x^2+16=2^{3+\cos(?x)}$$;
   г) $$5-\left|2x^2-15x+7\right|=\frac{5}{\cos^2(?x)}$$.

1. а) $$5^{\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}}=20x-100x^2.$$

   Рассмотрим правую часть как параболу:

   $$20x-100x^2\le 1,$$

   так как её вершина имеет координаты

   $$x_0=-\frac{20}{2\cdot(-100)}=0{,}1,\qquad y_0=20\cdot0{,}1-100\cdot0{,}01=1.$$

   Левая часть не меньше 1, поскольку

   $$\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}\ge 0,$$

   значит

   $$5^{\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}}\ge 1.$$

   Равенство возможно при

   $$\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}=0,$$

   то есть

   $$\tg(2{,}5\pi x)=1.$$

   Отсюда

   $$2{,}5\pi x=\frac{\pi}{4}+\pi k,$$

   $$x=\frac{1}{10}+\frac{2k}{5},\quad k\in\mathbb Z.$$

   С учётом равенства правой части 1 получаем единственное значение из предложенного решения:

   $$x=0{,}1.$$

2. б) $$\log_2(12x-4x^2-5)=3+\cos(2\pi x).$$

   Левая часть не превосходит 2, так как максимум выражения под логарифмом равен 4:

   $$12x-4x^2-5\le 4,$$

   поскольку вершина параболы находится в точке

   $$x_0=-\frac{12}{2\cdot(-4)}=1{,}5,\qquad y_0=12\cdot1{,}5-4\cdot1{,}5^2-5=4.$$

   Тогда

   $$\log_2(12x-4x^2-5)\le \log_2 4=2.$$

   Правая часть не меньше 2, так как

   $$\cos(2\pi x)\ge -1,$$

   значит

   $$3+\cos(2\pi x)\ge 2.$$

   Равенство возможно при

   $$\cos(2\pi x)=-1,$$

   то есть при

   $$x=\frac12+k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Проверка даёт, что подходит значение

   $$x=1{,}5.$$

3. в) $$0{,}5x^2+16=2^{3+\cos(\pi x)}.$$

   Левая часть не меньше 16:

   $$0{,}5x^2+16\ge 16.$$

   Правая часть не больше 16, так как

   $$\cos(\pi x)\le 1,$$

   следовательно

   $$3+\cos(\pi x)\le 4,$$

   и потому

   $$2^{3+\cos(\pi x)}\le 2^4=16.$$

   Равенство возможно только при

   $$x=0.$$

4. г) $$5-|2x^2-15x+7|=\frac{5}{\cos^2(\pi x)}.$$

   Так как

   $$|2x^2-15x+7|\ge 0,$$

   то

   $$5-|2x^2-15x+7|\le 5.$$

   С другой стороны,

   $$0<\cos^2(\pi x)\le 1,$$

   значит

   $$\frac{5}{\cos^2(\pi x)}\ge 5.$$

   Следовательно, равенство возможно только при

   $$|2x^2-15x+7|=0,$$

   то есть

   $$2x^2-15x+7=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=15^2-4\cdot2\cdot7=225-56=169,$$

   $$x_{1,2}=\frac{15\pm13}{4}.$$

   Получаем

   $$x_1=0{,}5,\qquad x_2=7.$$

   Из них подходит значение, при котором правая часть определена и равенство выполняется:

   $$x=7.$$

Ответ

а) $$0{,}1$$; б) $$1{,}5$$; в) $$0$$; г) $$7$$.