Упр.35.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) 5^v(1-tg(2,5?x))=20x-100x^2;
б) log_2(12x-4x^2-5)=3+cos(2?x);
в) 0,5x^2+16=2^(3+cos(?x));
г) 5-|2x^2-15x+7|=5/cos^2(?x)).
а) $$5^{\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}}=20x-100x^2.$$
Рассмотрим правую часть как параболу:
$$20x-100x^2\le 1,$$
так как её вершина имеет координаты
$$x_0=-\frac{20}{2\cdot(-100)}=0{,}1,\qquad y_0=20\cdot0{,}1-100\cdot0{,}01=1.$$
Левая часть не меньше 1, поскольку
$$\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}\ge 0,$$
значит
$$5^{\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}}\ge 1.$$
Равенство возможно при
$$\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}=0,$$
то есть
$$\tg(2{,}5\pi x)=1.$$
Отсюда
$$2{,}5\pi x=\frac{\pi}{4}+\pi k,$$
$$x=\frac{1}{10}+\frac{2k}{5},\quad k\in\mathbb Z.$$
С учётом равенства правой части 1 получаем единственное значение из предложенного решения:
$$x=0{,}1.$$
б) $$\log_2(12x-4x^2-5)=3+\cos(2\pi x).$$
Левая часть не превосходит 2, так как максимум выражения под логарифмом равен 4:
$$12x-4x^2-5\le 4,$$
поскольку вершина параболы находится в точке
$$x_0=-\frac{12}{2\cdot(-4)}=1{,}5,\qquad y_0=12\cdot1{,}5-4\cdot1{,}5^2-5=4.$$
Тогда
$$\log_2(12x-4x^2-5)\le \log_2 4=2.$$
Правая часть не меньше 2, так как
$$\cos(2\pi x)\ge -1,$$
значит
$$3+\cos(2\pi x)\ge 2.$$
Равенство возможно при
$$\cos(2\pi x)=-1,$$
то есть при
$$x=\frac12+k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Проверка даёт, что подходит значение
$$x=1{,}5.$$
в) $$0{,}5x^2+16=2^{3+\cos(\pi x)}.$$
Левая часть не меньше 16:
$$0{,}5x^2+16\ge 16.$$
Правая часть не больше 16, так как
$$\cos(\pi x)\le 1,$$
следовательно
$$3+\cos(\pi x)\le 4,$$
и потому
$$2^{3+\cos(\pi x)}\le 2^4=16.$$
Равенство возможно только при
$$x=0.$$
г) $$5-|2x^2-15x+7|=\frac{5}{\cos^2(\pi x)}.$$
Так как
$$|2x^2-15x+7|\ge 0,$$
то
$$5-|2x^2-15x+7|\le 5.$$
С другой стороны,
$$0<\cos^2(\pi x)\le 1,$$
значит
$$\frac{5}{\cos^2(\pi x)}\ge 5.$$
Следовательно, равенство возможно только при
$$|2x^2-15x+7|=0,$$
то есть
$$2x^2-15x+7=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=15^2-4\cdot2\cdot7=225-56=169,$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm13}{4}.$$
Получаем
$$x_1=0{,}5,\qquad x_2=7.$$
Из них подходит значение, при котором правая часть определена и равенство выполняется:
$$x=7.$$
Ответ
а) $$0{,}1$$; б) $$1{,}5$$; в) $$0$$; г) $$7$$.
