Упр.35.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение, используя функционально-графические методы:
   а) $$\sqrt{20-4x}=4(2x-7)^3-2$$;
   б) $$\left(81^x\right)^{\frac{1}{7}}=\sqrt{1-4x}$$;
   в) $$\sqrt{17-2x}=3{,}5+4(3x-1)^3$$;
   г) $$\left(16^{x-3}\right)^{\frac{1}{9}}=\sqrt{13-4x}$$.

1. а) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{20-4x}$$ и $$g(x)=4(2x-7)^3-2.$$

   Функция $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;5]$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}.$$ Значит, уравнение имеет единственное решение.

   Проверим точку $$x=4$$:

   $$\sqrt{20-4\cdot 4}=\sqrt{4}=2,$$
   $$4(2\cdot 4-7)^3-2=4\cdot 1^3-2=2.$$

   Следовательно, $$x=4.$$

2. б) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt[7]{81^x}$$ и $$g(x)=\sqrt{1-4x}.$$

   Функция $$f(x)$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty),$$ а функция $$g(x)$$ убывает на $$(-\infty;\tfrac14].$$ Значит, уравнение имеет единственное решение.

   Проверим точку $$x=0$$:

   $$\sqrt[7]{81^0}=\sqrt[7]{1}=1,$$
   $$\sqrt{1-4\cdot 0}=\sqrt{1}=1.$$

   Следовательно, $$x=0.$$

3. в) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{17-2x}$$ и $$g(x)=3{,}5+4(3x-1)^3.$$

   Функция $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;8{,}5],$$ а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}.$$ Значит, уравнение имеет единственное решение.

   Проверим точку $$x=0{,}5$$:

   $$\sqrt{17-2\cdot 0{,}5}=\sqrt{16}=4,$$
   $$3{,}5+4(3\cdot 0{,}5-1)^3=3{,}5+4\cdot 0{,}5=4.$$

   Следовательно, $$x=0{,}5.$$

4. г) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt[9]{16^{x-3}}$$ и $$g(x)=\sqrt{13-4x}.$$

   Функция $$f(x)$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty),$$ а функция $$g(x)$$ убывает на $$(-\infty;3{,}25].$$ Значит, уравнение имеет единственное решение.

   Проверим точку $$x=3$$:

   $$\sqrt[9]{16^{3-3}}=\sqrt[9]{1}=1,$$
   $$\sqrt{13-4\cdot 3}=\sqrt{1}=1.$$

   Следовательно, $$x=3.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$0$$; в) $$0{,}5$$; г) $$3$$.