Упр.35.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) x^5 + 5x — 42 = 0; в) x^7 + 14x = 15;
б) 0,6^x + 1,4 = 2^x; г) 7^x + 24^x — 25^x = 0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^5+5x.$$
Тогда уравнение принимает вид $$f(x)=42.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=5x^4+5>0.$$
Значит, функция строго возрастает, поэтому уравнение может иметь не более одного корня.
Проверим значение $$x=2$$:
$$2^5+5\cdot 2=32+10=42.$$
Следовательно, $$x=2$$.
б) Пусть $$f(x)=0{,}6^x+1{,}4$$, $$g(x)=2^x.$$
Тогда нужно решить уравнение $$f(x)=g(x).$$
Найдём производные:
$$f'(x)=0{,}6^x\ln 0{,}6<0,$$
$$g'(x)=2^x\ln 2>0.$$
Значит, $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, поэтому корень может быть только один.
Проверим $$x=1$$:
$$0{,}6^1+1{,}4=0{,}6+1{,}4=2,$$
$$2^1=2.$$
Следовательно, $$x=1$$.
в) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^7+14x.$$
Тогда уравнение имеет вид $$f(x)=15.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=7x^6+14>0.$$
Значит, функция строго возрастает, и корень уравнения единственный.
Проверим $$x=1$$:
$$1^7+14\cdot 1=1+14=15.$$
Следовательно, $$x=1$$.
г) Преобразуем уравнение:
$$7^x+24^x-25^x=0.$$
Разделим на $$24^x$$:
$$\left(\frac{7}{24}\right)^x+1-\left(\frac{25}{24}\right)^x=0,$$
то есть
$$\left(\frac{7}{24}\right)^x+1=\left(\frac{25}{24}\right)^x.$$
Пусть $$f(x)=\left(\frac{7}{24}\right)^x+1$$ и $$g(x)=\left(\frac{25}{24}\right)^x.$$
Тогда
$$f'(x)=\left(\frac{7}{24}\right)^x\ln\frac{7}{24}<0,$$
$$g'(x)=\left(\frac{25}{24}\right)^x\ln\frac{25}{24}>0.$$
Значит, $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, поэтому решение единственно.
Проверим $$x=2$$:
$$7^2+24^2-25^2=49+576-625=0.$$
Следовательно, $$x=2$$.