Упр.35.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение, используя функционально-графические методы:
   а) $$x^5+5x-42=0$$;
   в) $$x^7+14x=15$$;
   б) $$0{,}6^x+1{,}4=2^x$$;
   г) $$7^x+24^x-25^x=0$$.

1. а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^5+5x.$$

   Тогда уравнение принимает вид $$f(x)=42.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=5x^4+5>0.$$

   Значит, функция строго возрастает, поэтому уравнение может иметь не более одного корня.

   Проверим значение $$x=2$$:

   $$2^5+5\cdot 2=32+10=42.$$

   Следовательно, $$x=2$$.

2. б) Пусть $$f(x)=0{,}6^x+1{,}4$$, $$g(x)=2^x.$$

   Тогда нужно решить уравнение $$f(x)=g(x).$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=0{,}6^x\ln 0{,}6<0,$$

   $$g'(x)=2^x\ln 2>0.$$

   Значит, $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, поэтому корень может быть только один.

   Проверим $$x=1$$:

   $$0{,}6^1+1{,}4=0{,}6+1{,}4=2,$$

   $$2^1=2.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

3. в) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^7+14x.$$

   Тогда уравнение имеет вид $$f(x)=15.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=7x^6+14>0.$$

   Значит, функция строго возрастает, и корень уравнения единственный.

   Проверим $$x=1$$:

   $$1^7+14\cdot 1=1+14=15.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

4. г) Преобразуем уравнение:

   $$7^x+24^x-25^x=0.$$

   Разделим на $$24^x$$:

   $$\left(\frac{7}{24}\right)^x+1-\left(\frac{25}{24}\right)^x=0,$$

   то есть

   $$\left(\frac{7}{24}\right)^x+1=\left(\frac{25}{24}\right)^x.$$

   Пусть $$f(x)=\left(\frac{7}{24}\right)^x+1$$ и $$g(x)=\left(\frac{25}{24}\right)^x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\left(\frac{7}{24}\right)^x\ln\frac{7}{24}<0,$$

   $$g'(x)=\left(\frac{25}{24}\right)^x\ln\frac{25}{24}>0.$$

   Значит, $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, поэтому решение единственно.

   Проверим $$x=2$$:

   $$7^2+24^2-25^2=49+576-625=0.$$

   Следовательно, $$x=2$$.

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=1$$; в) $$x=1$$; г) $$x=2$$.