Упр.35.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение, используя функционально-графические методы:
   а) $$3^x=11-x$$;
   в) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x=x+5$$;
   б) $$1-vx=\lg(x)$$;
   г) $$\frac{8}{x}+1=2x^{\frac{1}{3}}$$.

1. $$3^x=11-x$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=3^x$$ и $$g(x)=11-x$$. Первая функция возрастает, вторая убывает, значит, графики могут пересекаться не более чем в одной точке.

   Проверим значение $$x=2$$:

   $$3^2=9,\qquad 11-2=9.$$

   Следовательно, $$x=2$$.

2. $$1-\sqrt{x}=\lg x$$

   Область определения: $$x>0$$.

   Рассмотрим функции $$f(x)=1-\sqrt{x}$$ и $$g(x)=\lg x$$. Первая убывает, вторая возрастает, значит, решение может быть только одно.

   Проверим $$x=1$$:

   $$1-\sqrt{1}=0,\qquad \lg 1=0.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

3. $$\left(\frac14\right)^x=x+5$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=4^{-x}$$ и $$g(x)=x+5$$. Первая убывает, вторая возрастает, значит, пересечение возможно не более чем в одной точке.

   Проверим $$x=-1$$:

   $$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad -1+5=4.$$

   Следовательно, $$x=-1$$.

4. $$\frac{8}{x}+1=2\sqrt[3]{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   Графики функций $$y=\frac{8}{x}+1$$ и $$y=2\sqrt[3]{x}$$ пересекаются в двух точках. По графику получаем приближённые значения корней:

   $$x_1\approx -2{,}2,\qquad x_2\approx 3{,}8.$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=1$$; в) $$x=-1$$; г) $$x_1\approx -2{,}2,\ x_2\approx 3{,}8$$.