Упр.35.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение, используя функционально-графические методы:

а) $$3^{|x|}=\cos\left(\frac{x}{3}\right)$$;

б) $$\cos(?x)=x^2-4x+5$$.

а) Рассмотрим функции $$f(x)=3^{|x|}$$ и $$g(x)=\cos\frac{x}{3}.$$

Так как $$|x|\ge 0,$$ то $$3^{|x|}\ge 1.$$ Кроме того, $$\cos\frac{x}{3}\le 1.$$

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий

$$3^{|x|}=1 \quad \text{и} \quad \cos\frac{x}{3}=1.$$

Из $$3^{|x|}=1$$ получаем $$|x|=0,$$ значит, $$x=0.$$ Проверка:

$$3^{|0|}=3^0=1,\qquad \cos\frac{0}{3}=\cos 0=1.$$

Следовательно, $$x=0.$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=\cos(\pi x)$$ и $$g(x)=x^2-4x+5.$$

Преобразуем квадратный трёхчлен:

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$$

Значит, $$g(x)\ge 1,$$ а для функции $$f(x)$$ всегда $$f(x)\le 1.$$

Равенство возможно только при

$$x^2-4x+5=1 \quad \text{и} \quad \cos(\pi x)=1.$$

Из уравнения

$$x^2-4x+5=1$$
$$x^2-4x+4=0$$
$$(x-2)^2=0$$
$$x=2.$$

Проверка:

$$\cos(\pi\cdot 2)=\cos 2\pi=1,\qquad 2^2-4\cdot 2+5=1.$$

Следовательно, $$x=2.$$

Ответ

а) $$x=0$$; б) $$x=2$$.