Упр.35.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$5^{7x-3}\left(\sin(2x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\log_{0,5}(x+1)=0$$;

б) $$\left(\sin(x)+\cos(x)\right)\left(x-8\sqrt{2x-15}\right)=0$$.

а) Рассмотрим произведение:

$$5^{7x-3}\left(\sin 2x-\frac{\sqrt2}{2}\right)\log_{0,5}(x+1)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

1) $$\sin 2x-\frac{\sqrt2}{2}=0,$$

$$\sin 2x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\log_{0,5}(x+1)=0,$$

$$x+1=1,\quad x=0.$$

Проверим область определения логарифма:

$$x+1>0,\quad x>-1.$$

Значение $$x=0$$ подходит. Остальные значения из первого случая также должны удовлетворять условию $$x>-1$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sin x+\cos x\right)\left(x-8\sqrt{2x-15}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если:

1) $$\sin x+\cos x=0,$$

$$\tan x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x-8\sqrt{2x-15}=0.$$

Тогда

$$x=8\sqrt{2x-15}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=64(2x-15),$$

$$x^2-128x+960=0.$$

Найдём корни:

$$D=128^2-4\cdot 960=12544,$$

$$x_{1,2}=\frac{128\pm112}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=8,\quad x_2=120.$$

Проверим область определения:

$$2x-15\ge 0,\quad x\ge \frac{15}{2}.$$

Оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=0,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=8,\; x=120,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$