Упр.34.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) 2x^3 + 7x^2 + 5x + 1 = 0;
б) 3x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x + 1 = 0;
в) 21x^3 + x^2 — 5x — 1 = 0;
г) 2x^4 + 7x^3 — 3x^2 — 5x — 1 = 0.

Подробный ответ

а) $$2x^3+7x^2+5x+1=0$$
Сделаем замену $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда
$$2+\frac{7}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0 \;\Rightarrow\; y^3+5y^2+7y+2=0.$$
Проверим корень $$y=-2$$:
$$(-2)^3+5(-2)^2+7(-2)+2=0.$$
Тогда
$$y^3+5y^2+7y+2=(y+2)(y^2+3y+1).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$y^2+3y+1=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=5,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x=\frac{1}{y}.$$
Получаем
$$x=-\frac12,\quad x=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}.$$
б) $$3x^4+4x^3+4x^2+4x+1=0$$
Положим $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда
$$3+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}+\frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^4}=0 \;\Rightarrow\; y^4+4y^3+4y^2+4y+3=0.$$
Проверим корень $$y=-1$$:
$$1-4+4-4+3=0.$$
Тогда
$$y^4+4y^3+4y^2+4y+3=(y+1)(y^3+3y^2+y+3).$$
Сгруппируем кубический множитель:
$$y^3+3y^2+y+3=(y+3)(y^2+1).$$
Следовательно,
$$y^4+4y^3+4y^2+4y+3=(y+1)(y+3)(y^2+1).$$
Действительные корни:
$$y=-1,\quad y=-3.$$
Тогда
$$x=-1,\quad x=-\frac13.$$
в) $$21x^3+x^2-5x-1=0$$
Положим $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда
$$21+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}-\frac{1}{x^3}=0 \;\Rightarrow\; y^3+5y^2-y-21=0.$$
Проверим корень $$y=-3$$:
$$(-3)^3+5(-3)^2-(-3)-21=0.$$
Тогда
$$y^3+5y^2-y-21=(y+3)(y^2+2y-7).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$y^2+2y-7=0,$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-7)=32,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{32}}{2}=-1\pm2\sqrt2.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x=\frac{1}{y}.$$
Получаем
$$x=-\frac13,\quad x=\frac{1\pm2\sqrt2}{7}.$$
г) $$2x^4+7x^3-3x^2-5x-1=0$$
Положим $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда
$$2+\frac{7}{x}-\frac{3}{x^2}-\frac{5}{x^3}-\frac{1}{x^4}=0 \;\Rightarrow\; y^4+5y^3+3y^2-7y-2=0.$$
Проверим корень $$y=1$$:
$$1+5+3-7-2=0.$$
Тогда
$$y^4+5y^3+3y^2-7y-2=(y-1)(y^3+6y^2+9y+2).$$
Проверим корень $$y=-2$$ у кубического множителя:
$$(-2)^3+6(-2)^2+9(-2)+2=0.$$
Значит,
$$y^3+6y^2+9y+2=(y+2)(y^2+4y+1).$$
Итак,
$$y^4+5y^3+3y^2-7y-2=(y-1)(y+2)(y^2+4y+1).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$y^2+4y+1=0,$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=12,$$
$$y_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=-2\pm\sqrt3.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x=\frac{1}{y}.$$
Получаем
$$x=1,\quad x=-\frac12,\quad x=-2\pm\sqrt3.$$