Упр.34.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$x^4-5x+6=0$$; б) $$x^4+5x^3-20x-16=0$$; в) $$x^4-2x^3-6x^2+5x+2=0$$; г) $$x^4+3x^3-7x^2-27x-18=0$$.

1. а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-5x+6.$$

   $$f'(x)=4x^3-5.$$

   Производная обращается в ноль при $$x=\sqrt[3]{\frac54}.$$

   Это точка минимума, и

   $$f_{\min}= \left(\sqrt[3]{\frac54}\right)^4-5\sqrt[3]{\frac54}+6=6-\frac{15}{4}\sqrt[3]{\frac54}>0.$$

   Значит, $$x^4-5x+6=0$$ не имеет действительных корней.

2. б) Проверим значение при $$x=-1$$:

   $$P(-1)=1-5+20-16=0.$$

   Тогда разложим многочлен на множители:

   $$x^4+5x^3-20x-16=(x+1)(x^3+4x^2-4x-16)$$

   $$x^3+4x^2-4x-16=x^2(x+4)-4(x+4)=(x^2-4)(x+4)$$

   $$x^4+5x^3-20x-16=(x+1)(x^2-4)(x+4)=(x+4)(x+2)(x+1)(x-2).$$

   Следовательно,

   $$x=-4,\,-2,\,-1,\,2.$$

3. в) Проверим значение при $$x=1$$:

   $$P(1)=1-2-6+5+2=0.$$

   Тогда

   $$x^4-2x^3-6x^2+5x+2=(x-1)(x^3-x^2-7x-2).$$

   Проверим значение кубического множителя при $$x=-2$$:

   $$Q(-2)=-8-4+14-2=0.$$

   Значит,

   $$x^3-x^2-7x-2=(x+2)(x^2-3x-1).$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$x^2-3x-1=0,\qquad D=9+4=13.$$

   $$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.$$

   Итак, корни уравнения:

   $$x=-2,\;1,\;\frac{3-\sqrt{13}}{2},\;\frac{3+\sqrt{13}}{2}.$$

4. г) Проверим значение при $$x=-1$$:

   $$P(-1)=1-3-7+27-18=0.$$

   Тогда

   $$x^4+3x^3-7x^2-27x-18=(x+1)(x^3+2x^2-9x-18).$$

   Проверим значение кубического множителя при $$x=3$$:

   $$3^3+2\cdot 3^2-9\cdot 3-18=27+18-27-18=0.$$

   Значит,

   $$x^3+2x^2-9x-18=(x-3)(x^2+5x+6)=(x-3)(x+2)(x+3).$$

   Следовательно,

   $$x=-3,\,-2,\,-1,\,3.$$

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$-4,\,-2,\,-1,\,2$$; в) $$-2,\;1,\;\frac{3-\sqrt{13}}{2},\;\frac{3+\sqrt{13}}{2}$$; г) $$-3,\,-2,\,-1,\,3$$.