Упр.34.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$x^3-7x+6=0$$; в) $$x^3-5x^2+3x+9=0$$; б) $$3x^3-3x^2-6x+8=0$$; г) $$x^3-4x^2+x+6=0$$.

1. а) $$x^3-7x+6=0$$

   Проверим корень $$x=1$$:

   $$1^3-7\cdot 1+6=0$$

   Тогда многочлен делится на $$x-1$$:

   $$x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)$$

   Разложим квадратный трёхчлен:

   $$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

   Следовательно,

   $$x^3-7x+6=(x-1)(x+3)(x-2)$$

   Отсюда:

   $$x=-3,\;1,\;2$$

2. б) $$3x^3-3x^2-6x+8=0$$

   Проверим корень $$x=1$$:

   $$3-3-6+8=0$$

   Тогда

   $$3x^3-3x^2-6x+8=(x-1)(3x^2-6)$$

   Вынесем общий множитель:

   $$3x^2-6=3(x^2-2)$$

   Получаем:

   $$3x^3-3x^2-6x+8=3(x-1)(x^2-2)$$

   Тогда

   $$x=1,\;\pm\sqrt{2}$$

3. в) $$x^3-5x^2+3x+9=0$$

   Проверим корень $$x=-1$$:

   $$-1-5-3+9=0$$

   Значит,

   $$x^3-5x^2+3x+9=(x+1)(x^2-6x+9)$$

   Так как

   $$x^2-6x+9=(x-3)^2,$$

   то

   $$x^3-5x^2+3x+9=(x+1)(x-3)^2$$

   Следовательно,

   $$x=-1,\;3$$

4. г) $$x^3-4x^2+x+6=0$$

   Проверим корень $$x=-1$$:

   $$-1-4-1+6=0$$

   Тогда

   $$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)$$

   Разложим квадратный трёхчлен:

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

   Итак,

   $$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3)$$

   Отсюда:

   $$x=-1,\;2,\;3$$

Ответ

а) $$-3,\;1,\;2$$; б) $$1,\;-\sqrt{2},\;\sqrt{2}$$; в) $$-1,\;3$$; г) $$-1,\;2,\;3$$.