Упр.33.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) v(5-x)=v(x-2); г) v(5-x)/v(x-2)=2;
б) (lg(5-x)-1)/(lg(x-2)+1)=3; д) ln(5-x)/ln(x-2)=3;
в) v((5-x)/(x-2))·lg(x^2-4)=3; е) v((5-x)/(x-2))·lg(x^2-4)=3.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{5-x}=\sqrt{x-2}$$
Для существования корней нужно:
$$5-x\ge 0,\qquad x-2\ge 0.$$
Отсюда:
$$x\le 5,\qquad x\ge 2.$$
Пересечение условий:
$$x\in[2;5].$$
б) $$\frac{\lg(5-x)-1}{\lg(x-2)+1}=3$$
Нужно, чтобы были определены логарифмы и знаменатель не обращался в нуль:
$$5-x>0,\qquad x-2>0,$$
$$\lg(x-2)+1\ne 0.$$
Из последнего:
$$\lg(x-2)\ne -1,\qquad x-2\ne 0{,}1,\qquad x\ne 2{,}1.$$
Тогда
$$x\in(2;2{,}1)\cup(2{,}1;5).$$
в) $$\sqrt{\frac{5-x}{x-2}}\cdot \lg(x^2-4)=3$$
Для корня нужно:
$$\frac{5-x}{x-2}\ge 0.$$
Для логарифма:
$$x^2-4>0.$$
Решим неравенства:
$$x^2-4=(x-2)(x+2)>0 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>2.$$
А также
$$\frac{5-x}{x-2}\ge 0 \Rightarrow 2<x\le 5.$$
Пересечение условий:
$$x\in(2;5].$$
г) $$\frac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{x-2}}=2$$
Нужно:
$$5-x\ge 0,\qquad x-2>0.$$
Так как знаменатель не может быть равен нулю, получаем:
$$x\le 5,\qquad x>2.$$
Следовательно,
$$x\in(2;5].$$
д) $$\frac{\ln(5-x)}{\ln(x-2)}=3$$
Для существования логарифмов:
$$5-x>0,\qquad x-2>0.$$
Кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю:
$$\ln(x-2)\ne 0.$$
Отсюда:
$$x-2\ne 1,\qquad x\ne 3.$$
Итак,
$$x\in(2;3)\cup(3;5).$$
е) $$\sqrt{\frac{5-x}{x-2}}\cdot \lg(x^2-4)=3$$
Условия существования такие же, как в пункте в):
$$\frac{5-x}{x-2}\ge 0,\qquad x^2-4>0.$$
Получаем:
$$x\in(2;5].$$