Упр.33.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Равносильны ли данные уравнения?
а) $$4^x-16^{x^2}=0$$ и $$x(x^4+5)=2x^2(x^4+5)$$;
б) $$v(0,2^x)\cdot5^{x^2}vx=25$$ и $$x^2-0,5x-1,5=0$$;
в) $$\lg(x-4)+\lg(x)=\lg(x-2)$$ и $$x^2+4x=x-4$$;
г) $$5^x-25^{x^2}=0$$ и $$x^3(x-3)=2x^4(x-3)$$;
д) $$2^{vx-2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}=1$$ и $$vx-x-3=0$$;
е) $$\lg(x-3)+\lg(x)=\lg(2x-6)$$ и $$x^2-3x=2x-6$$.
а)
Первое уравнение:
$$4^x-16^{x^2}=0$$
$$4^x=16^{x^2}=4^{2x^2}$$
$$x=2x^2$$
$$x(2x-1)=0$$
$$x=0,\; x=\frac12$$
Второе уравнение:
$$x(x^4+5)=2x^2(x^4+5)$$
Так как $$x^4+5>0$$ при любом $$x$$, получаем:
$$x=2x^2$$
$$x(2x-1)=0$$
$$x=0,\; x=\frac12$$
Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.
Да.
б)
Первое уравнение:
$$\sqrt{0{,}2^x}\cdot 5^{x^2}\sqrt{x}=25$$
Преобразуем к основанию $$5$$:
$$0{,}2=\frac15=5^{-1}, \quad \sqrt{0{,}2^x}=5^{-x/2}$$
Тогда
$$5^{-x/2}\cdot 5^{x^2}\cdot x^{1/2}=5^2$$
После приведения показателей получаем:
$$2x^2-x-3=0$$
Второе уравнение:
$$x^2-0{,}5x-1{,}5=0$$
Умножим на $$2$$:
$$2x^2-x-3=0$$
Уравнения равносильны.
Да.
в)
Первое уравнение:
$$\lg(x-4)+\lg x=\lg(x-2)$$
ОДЗ: $$x>4$$.
Объединим логарифмы:
$$\lg(x(x-4))=\lg(x-2)$$
Тогда
$$x(x-4)=x-2$$
$$x^2-5x+2=0$$
Второе уравнение:
$$x^2+4x=x-4$$
$$x^2+3x+4=0$$
У первого уравнения есть действительные корни, удовлетворяющие ОДЗ, а второе уравнение действительных корней не имеет. Значит, уравнения не равносильны.
Нет.
г)
Первое уравнение:
$$5^x-25^{x^2}=0$$
$$5^x=25^{x^2}=5^{2x^2}$$
$$x=2x^2$$
$$x(2x-1)=0$$
$$x=0,\; x=\frac12$$
Второе уравнение:
$$x^3(x-3)=2x^4(x-3)$$
$$x^3(x-3)(1-2x)=0$$
$$x=0,\; x=\frac12,\; x=3$$
Множества решений различны, значит, уравнения не равносильны.
Нет.
д)
Первое уравнение:
$$2^{\sqrt{x}-2}\cdot \left(\frac12\right)^{x+1}=1$$
Так как $$\left(\frac12\right)^{x+1}=2^{-(x+1)}$$, получаем:
$$2^{\sqrt{x}-2-(x+1)}=2^0$$
$$\sqrt{x}-x-3=0$$
Второе уравнение:
$$\sqrt{x}-x-3=0$$
Уравнения совпадают, значит, они равносильны.
Да.
е)
Первое уравнение:
$$\lg(x-3)+\lg x=\lg(2x-6)$$
ОДЗ: $$x>3$$.
Объединим логарифмы:
$$\lg(x(x-3))=\lg(2x-6)$$
Тогда
$$x(x-3)=2x-6$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$x=2,\; x=3$$
Но по ОДЗ подходит только $$x>3$$, значит, решений нет.
Второе уравнение:
$$x^2-3x=2x-6$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$x=2,\; x=3$$
Здесь оба корня подходят.
Множества решений различны, значит, уравнения не равносильны.
Нет.
Ответ
а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) да; е) нет.
