Упр.33.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (x^2+5x-3)/(2x^2+1)=3 и x^2+5x-3=6x^2+3;
б) x^2/vx=1 и x^2=vx;
в) sin(x)/(cos(x)-1) и sin(x)=cos(x)-1;
г) (x^2-4x-3)/(x^2-1)=2 и x^2-4x-3=2x^2-2;
д) x^3/(vx+2)=1 и x^3=vx+2;
е) (sin(x)+1)/(sin(x)+3)=0,5 и 2sin(x)+2=sin(x)+3.
а) Рассмотрим уравнения
$$\frac{x^2+5x-3}{2x^2+1}=3$$ и $$x^2+5x-3=6x^2+3.$$
Первое уравнение равносильно системе
$$x^2+5x-3=3(2x^2+1), \qquad 2x^2+1\ne 0.$$
Так как $$2x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ ограничений нет. Получаем
$$x^2+5x-3=6x^2+3.$$
Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
б) Рассмотрим уравнения
$$\frac{x^2}{\sqrt{x}}=1$$ и $$x^2=\sqrt{x}.$$
Область определения первого уравнения: $$x>0,$$ так как в знаменателе стоит $$\sqrt{x}.$$
Умножая обе части на $$\sqrt{x},$$ получаем
$$x^2=\sqrt{x}.$$
Но при переходе к этому уравнению теряется случай $$x=0,$$ который не входит в ОДЗ первого уравнения. Поэтому уравнения неравносильны.
Ответ: нет.
в) Рассмотрим уравнения
$$\frac{\sin x}{\cos x-1}=1$$ и $$\sin x=\cos x-1.$$
Первое уравнение равносильно системе
$$\sin x=\cos x-1, \qquad \cos x-1\ne 0.$$
Во втором уравнении ограничение отсутствует, поэтому оно может иметь решения, при которых $$\cos x-1=0,$$ а в первом уравнении такие значения недопустимы. Значит, уравнения неравносильны.
Ответ: нет.
г) Рассмотрим уравнения
$$\frac{x^2-4x-3}{x^2-1}=2$$ и $$x^2-4x-3=2x^2-2.$$
Первое уравнение равносильно системе
$$x^2-4x-3=2(x^2-1), \qquad x^2-1\ne 0.$$
После преобразования получаем
$$x^2-4x-3=2x^2-2.$$
При этом нужно исключить значения $$x=\pm 1,$$ при которых знаменатель обращается в нуль. Но эти значения не являются решениями полученного уравнения. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
д) Рассмотрим уравнения
$$\frac{x^3}{\sqrt{x}+2}=1$$ и $$x^3=\sqrt{x}+2.$$
Первое уравнение равносильно системе
$$x^3=\sqrt{x}+2, \qquad x\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{x}+2>0$$ при всех $$x\ge 0,$$ ограничений, кроме $$x\ge 0,$$ нет. Значит, уравнения равносильны.
Ответ: да.
е) Рассмотрим уравнения
$$\frac{\sin x+1}{\sin x+3}=0{,}5$$ и $$2\sin x+2=\sin x+3.$$
Первое уравнение равносильно системе
$$2(\sin x+1)=\sin x+3, \qquad \sin x+3\ne 0.$$
Получаем
$$2\sin x+2=\sin x+3.$$
Но $$\sin x+3\ne 0$$ при любых $$x,$$ так как $$\sin x\in[-1;1].$$ Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
