Упр.33.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Распределите уравнения на пары равносильных друг другу. Укажите уравнение, которое оказалось без пары:
а) $$x^2+4x-45=0$$; $$3^x=243$$; $$|x+2|=7$$; $$\log_3(x)=2$$; $$\sqrt{x+11}=4$$;
б) $$\frac{x^2-7x+12}{x-4}=0$$; $$5^x=625$$; $$|x-3{,}5|=0{,}5$$; $$\log_{16}(x)=0{,}5$$; $$\sqrt{x^2+12}=\sqrt{7x}$$;
в) $$3x^2-13x-16=0$$; $$2^{0{,}5x-1}=128$$; $$|3x+1|=0$$; $$\log_2(x)=4$$; $$\sqrt{6x+11}=3$$;
г) $$\frac{x^2-7x+10}{x-2}=0$$; $$6^x=36$$; $$|x-3{,}5|=1{,}5$$; $$\log_{0{,}2}(x)=-1$$; $$\sqrt{x^2+10}=\sqrt{7x}$$.
а)
$$x^2+4x-45=0$$
$$D=4^2+4\cdot 45=196$$
$$x_1=\frac{-4-14}{2}=-9,\quad x_2=\frac{-4+14}{2}=5$$
$$3^x=243=3^5 \Rightarrow x=5$$
$$|x+2|=7 \Rightarrow x+2=-7 \text{ или } x+2=7$$
$$x=-9 \text{ или } x=5$$
$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9$$
$$\sqrt{x+11}=4 \Rightarrow x+11=16 \Rightarrow x=5$$
Пары равносильных уравнений: $$x^2+4x-45=0$$ и $$|x+2|=7$$; $$3^x=243$$ и $$\sqrt{x+11}=4$$. Без пары осталось $$\log_3 x=2$$.
б)
$$\frac{x^2-7x+12}{x-4}=0$$
$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4),\quad x\ne 4$$
$$\frac{(x-3)(x-4)}{x-4}=0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3$$
$$5^x=625=5^4 \Rightarrow x=4$$
$$|x-3{,}5|=0{,}5 \Rightarrow x=3 \text{ или } x=4$$
$$\log_{16}x=0{,}5 \Rightarrow x=16^{0{,}5}=4$$
$$\sqrt{x^2+12}=\sqrt{7x} \Rightarrow x^2+12=7x \Rightarrow x^2-7x+12=0$$
$$x=3 \text{ или } x=4$$
Пары равносильных уравнений: $$5^x=625$$ и $$\log_{16}x=0{,}5$$; $$|x-3{,}5|=0{,}5$$ и $$\sqrt{x^2+12}=\sqrt{7x}$$. Без пары осталось $$\frac{x^2-7x+12}{x-4}=0$$.
в)
$$3x^2-13x-16=0$$
$$D=13^2+4\cdot 3\cdot 16=361$$
$$x_1=\frac{13-19}{6}=-1,\quad x_2=\frac{13+19}{6}=\frac{16}{3}$$
$$2^{0{,}5x-1}=128=2^7 \Rightarrow 0{,}5x-1=7 \Rightarrow x=16$$
$$|3x+1|=0 \Rightarrow 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13$$
$$\log_2 x=4 \Rightarrow x=16$$
$$\sqrt{6x+11}=3 \Rightarrow 6x+11=9 \Rightarrow x=-\frac13$$
Пары равносильных уравнений: $$2^{0{,}5x-1}=128$$ и $$\log_2 x=4$$; $$|3x+1|=0$$ и $$\sqrt{6x+11}=3$$. Без пары осталось $$3x^2-13x-16=0$$.
г)
$$\frac{x^2-7x+10}{x-2}=0$$
$$x^2-7x+10=(x-2)(x-5),\quad x\ne 2$$
$$\frac{(x-2)(x-5)}{x-2}=0 \Rightarrow x-5=0 \Rightarrow x=5$$
$$6^x=36=6^2 \Rightarrow x=2$$
$$|x-3{,}5|=1{,}5 \Rightarrow x=2 \text{ или } x=5$$
$$\log_{0{,}2}x=-1 \Rightarrow x=0{,}2^{-1}=5$$
$$\sqrt{x^2+10}=\sqrt{7x} \Rightarrow x^2+10=7x \Rightarrow x^2-7x+10=0$$
$$x=2 \text{ или } x=5$$
Пары равносильных уравнений: $$6^x=36$$ и $$\log_{0{,}2}x=-1$$; $$|x-3{,}5|=1{,}5$$ и $$\sqrt{x^2+10}=\sqrt{7x}$$. Без пары осталось $$\frac{x^2-7x+10}{x-2}=0$$.
Ответ
а) $$x^2+4x-45=0$$ и $$|x+2|=7$$; $$3^x=243$$ и $$\sqrt{x+11}=4$$; без пары — $$\log_3 x=2$$.
б) $$5^x=625$$ и $$\log_{16}x=0{,}5$$; $$|x-3{,}5|=0{,}5$$ и $$\sqrt{x^2+12}=\sqrt{7x}$$; без пары — $$\frac{x^2-7x+12}{x-4}=0$$.
в) $$2^{0{,}5x-1}=128$$ и $$\log_2 x=4$$; $$|3x+1|=0$$ и $$\sqrt{6x+11}=3$$; без пары — $$3x^2-13x-16=0$$.
г) $$6^x=36$$ и $$\log_{0{,}2}x=-1$$; $$|x-3{,}5|=1{,}5$$ и $$\sqrt{x^2+10}=\sqrt{7x}$$; без пары — $$\frac{x^2-7x+10}{x-2}=0$$.
