Упр.33.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) sin(x)=1; г) cos(x-?)=0;
б) cos(x)·v(1-x)=0; д) sin(?/2+x)·v(x-1)=0;
в) ctg(x)=0; е) ctg(x)·sin(2x)=0?

Подробный ответ

Проверим, равносильно ли каждое уравнение уравнению $$\cos x=0,$$ то есть множеству решений

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

$$\sin x=1.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Это не совпадает с решениями $$\cos x=0,$$ значит, уравнения неравносильны.
Ответ: нет.
$$\cos x\cdot \sqrt{1-x}=0.$$
Произведение равно нулю, если
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{1-x}=0.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=1.$$
Появляется лишнее решение $$x=1,$$ значит, уравнения неравносильны.
Ответ: нет.
$$\ctg x=0.$$
Так как $$\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x},$$ то
$$\cos x=0,\quad \sin x\ne 0.$$
Но при $$\cos x=0$$ автоматически $$\sin x=\pm 1,$$ значит, решения совпадают с решениями уравнения $$\cos x=0.$$
Ответ: да.
$$\cos(x-\pi)=0.$$
Используем формулу:
$$\cos(x-\pi)=-\cos x.$$
Тогда
$$-\cos x=0 \iff \cos x=0.$$
Уравнения равносильны.
Ответ: да.
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\sqrt{x-1}=0.$$
Так как
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,$$
получаем
$$\cos x\sqrt{x-1}=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad x=1.$$
Есть лишнее решение $$x=1,$$ значит, уравнения неравносильны.
Ответ: нет.
$$\ctg x\cdot \sin 2x=0.$$
Преобразуем:
$$\ctg x\cdot \sin 2x=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot 2\sin x\cos x=2\cos^2 x.$$
Тогда
$$2\cos^2 x=0 \iff \cos x=0.$$
Уравнения равносильны.
Ответ: да.