Упр.33.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (sin(2x)-1)·v(4-x^2)=0;
б) (sin^2(x)-cos^2(x))·v(3+2x-x^2)=0;
в) tg(x)·lg(4-x^2)=0;
г) (2cos(2x)-1)·v(1-x^2)=0;
д) sin(2x)·v(6-x-x^2)=0;
е) ctg(x)·ln(9-x^2)=0.
а) $$\left(\sin 2x-1\right)\sqrt{4-x^2}=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$\sin 2x-1=0 \Rightarrow \sin 2x=1 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\sqrt{4-x^2}=0 \Rightarrow 4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$
Проверяем область определения: $$4-x^2\ge 0 \Rightarrow -2\le x\le 2.$$
Подходят $$x=-2,\;2,\;\frac{\pi}{4}.$$
б) $$\left(\sin^2 x-\cos^2 x\right)\sqrt{3+2x-x^2}=0$$
$$\sin^2 x-\cos^2 x=0 \Rightarrow -\cos 2x=0 \Rightarrow \cos 2x=0$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
$$\sqrt{3+2x-x^2}=0 \Rightarrow 3+2x-x^2=0$$
$$x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x+1)(x-3)=0 \Rightarrow x=-1,\;3.$$
Область определения:
$$3+2x-x^2\ge 0 \Rightarrow -1\le x\le 3.$$
Подходят $$x=-1,\;3,\;\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4}.$$
в) $$\tg x\cdot \lg(4-x^2)=0$$
$$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
$$\lg(4-x^2)=0 \Rightarrow 4-x^2=1 \Rightarrow x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}.$$
Область определения: $$4-x^2>0 \Rightarrow -2<x<2.$$
Из найденных значений подходят $$x=-\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}.$$
г) $$\left(2\cos 2x-1\right)\sqrt{1-x^2}=0$$
$$2\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac12$$
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
$$\sqrt{1-x^2}=0 \Rightarrow 1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Область определения: $$1-x^2\ge 0 \Rightarrow -1\le x\le 1.$$
Подходят $$x=-1,\;1,\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{6}.$$
д) $$\sin 2x\cdot \sqrt{6-x-x^2}=0$$
$$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$
$$\sqrt{6-x-x^2}=0 \Rightarrow 6-x-x^2=0$$
$$x^2+x-6=0 \Rightarrow (x+3)(x-2)=0 \Rightarrow x=-3,\;2.$$
Область определения:
$$6-x-x^2\ge 0 \Rightarrow -3\le x\le 2.$$
Подходят $$x=-3,\;2,\;-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{2}.$$
е) $$\ctg x\cdot \ln(9-x^2)=0$$
$$\ctg x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$\ln(9-x^2)=0 \Rightarrow 9-x^2=1 \Rightarrow x^2=8 \Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}.$$
Область определения: $$9-x^2>0 \Rightarrow -3<x<3.$$
Из найденных значений подходят $$x=-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2},\;-2\sqrt{2},\;2\sqrt{2}.$$
Ответ
а) $$-2,\;2,\;\frac{\pi}{4}$$; б) $$-1,\;3,\;\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4}$$; в) $$-\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}$$; г) $$-1,\;1,\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{6}$$; д) $$-3,\;2,\;-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{2}$$; е) $$-2\sqrt{2},\;2\sqrt{2},\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}$$.
