Упр.33.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) v(x^4+x^2-7x+5)=1-x^2; в) v(x^4-17x+8)=x^2-2;
б) v(x^4+x^2-7x+5)=x^2-1; г) v(x^4-17x+8)=2-x^2.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x^4+x^2-7x+5}=1-x^2.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4+x^2-7x+5=(1-x^2)^2=1-2x^2+x^4.$$
Сократим $$x^4$$:
$$3x^2-7x+4=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 4=49-48=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2\cdot 3}.$$
Получаем:
$$x_1=1,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$
Проверим область допустимых значений:
$$1-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le 1.$$
Подходит только $$x=1$$.
б) $$\sqrt{x^4+x^2-7x+5}=x^2-1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4+x^2-7x+5=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1.$$
Сократим $$x^4$$:
$$3x^2-7x+4=0.$$
Как и выше,
$$x_1=1,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$
Область допустимых значений:
$$x^2-1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$
Оба корня подходят.
в) $$\sqrt{x^4-17x+8}=x^2-2.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-17x+8=(x^2-2)^2=x^4-4x^2+4.$$
Сократим $$x^4$$:
$$4x^2-17x+4=0.$$
Найдём корни:
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225,$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm 15}{2\cdot 4}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac14,\quad x_2=4.$$
Область допустимых значений:
$$x^2-2\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -\sqrt2 \text{ или } x\ge \sqrt2.$$
Подходит только $$x=4$$.
г) $$\sqrt{x^4-17x+8}=2-x^2.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-17x+8=(2-x^2)^2=x^4-4x^2+4.$$
Сократим $$x^4$$:
$$4x^2-17x+4=0.$$
Корни уравнения:
$$x_1=\frac14,\quad x_2=4.$$
Область допустимых значений:
$$2-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -\sqrt2\le x\le \sqrt2.$$
Подходит только $$x=\frac14$$.