Упр.32.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) sin(2z) = 2sin(z)cos(z);
б) cos(2z) = (cos(z))^2 — (sin(z))^2;
в) sin(z_1 + z_2) = sin(z_1)cos(z_2) + cos(z_1)sin(z_2);
г) cos(z_1 — z_2) = cos(z_1)cos(z_2) + sin(z_1)sin(z_2). Финансовая компания имела вклады в 20 банках. Среднее вкладов равно 27 млн р. Размер каждого вклада — целое число миллионов рублей, не превосходящее 40. Компания сняла по 1 млн р. с некоторых (быть может, одного) вкладов и закрыла после этого все обнулившиеся вклады.
а) Могла ли половина вкладов быть по 1 млн р.?
б) Могло ли быть 7 вкладов по 1 млн р.?
в) Докажите, что имелось не более 6 вкладов по 1 млн р.
г) Вклады (в млн р.) были следующие: 1, 14, 15, 30, …, 30; уменьшались первые три вклада (в 1, 14 и 15 млн. р.). Найдите среднее новых вкладов.
д) Вклады (в млн р.) были следующие: 6{1, …, 1}, 14, 13{40, …, 40}, уменьшались первые шесть вкладов (в млн р.). Найдите среднее новых вкладов.
е) Докажите, что ответ в «д» — наибольший из всех возможных значений нового среднего.

Подробный ответ

Докажем тождества, используя формулы Эйлера:
$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.$$
а)
$$ 2\sin z\cos z =2\cdot \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} =\frac{(e^{iz})^2-(e^{-iz})^2}{2i} =\frac{e^{2iz}-e^{-2iz}}{2i} =\sin 2z. $$
б)
$$ \cos^2 z-\sin^2 z =\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)^2 =\frac{e^{2iz}+2+e^{-2iz}}{4}-\frac{-e^{2iz}+2-e^{-2iz}}{4} =\frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2} =\cos 2z. $$
в)
$$ \sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2 =\frac{e^{iz_1}-e^{-iz_1}}{2i}\cdot \frac{e^{iz_2}+e^{-iz_2}}{2} +\frac{e^{iz_1}+e^{-iz_1}}{2}\cdot \frac{e^{iz_2}-e^{-iz_2}}{2i} $$
$$ =\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{i(z_1-z_2)}+e^{i(z_2-z_1)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i} +\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{i(z_2-z_1)}+e^{i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i} $$
$$ =\frac{2e^{i(z_1+z_2)}-2e^{-i(z_1+z_2)}}{4i} =\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{2i} =\sin(z_1+z_2). $$
г)
$$ \cos z_1\cos z_2+\sin z_1\sin z_2 =\frac{e^{iz_1}+e^{-iz_1}}{2}\cdot \frac{e^{iz_2}+e^{-iz_2}}{2} +\frac{e^{iz_1}-e^{-iz_1}}{2i}\cdot \frac{e^{iz_2}-e^{-iz_2}}{2i} $$
$$ =\frac{e^{i(z_1+z_2)}+e^{i(z_1-z_2)}+e^{i(z_2-z_1)}+e^{-i(z_1+z_2)}}{4} -\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{i(z_1-z_2)}-e^{i(z_2-z_1)}+e^{-i(z_1+z_2)}}{4} $$
$$ =\frac{e^{i(z_1-z_2)}+e^{i(z_2-z_1)}}{2} =\frac{e^{i(z_1-z_2)}+e^{-i(z_1-z_2)}}{2} =\cos(z_1-z_2). $$
Пусть в 20 банках были вклады $$a_1,a_2,\dots,a_{20}$$, причём
$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{20}}{20}=27,\qquad 1\le a_i\le 40.$$
После снятия по 1 млн р. с некоторых вкладов и закрытия обнулившихся вкладов новые вклады не превосходят старых.
а) Если половина вкладов равна 1 млн р., то остальные 10 вкладов не превосходят 40 млн р. Тогда
$$ \overline{x}\le \frac{10\cdot 1+10\cdot 40}{20}=\frac{410}{20}=20{,}5<27. $$
Значит, так быть не могло.
б) Если вкладов по 1 млн р. было 7, то остальные 13 вкладов не превосходят 40 млн р. Тогда
$$ \overline{x}\le \frac{7\cdot 1+13\cdot 40}{20}=\frac{527}{20}=26{,}35<27. $$
Значит, и это невозможно.
в) Пусть вкладов по 1 млн р. было $$k$$. Тогда остальные $$20-k$$ вкладов не меньше 1 и не больше 40, а после уменьшения среднее не может превышать
$$ \overline{x}\le \frac{k\cdot 1+(20-k)\cdot 40}{20}. $$
Так как исходное среднее равно 27, то
$$ \frac{k+40(20-k)}{20}\ge 27 $$
$$ k+800-40k\ge 540 $$
$$ 39k\le 260 $$
$$ k\le 6{,}66\ldots $$
Следовательно, вкладов по 1 млн р. было не более 6.
г) После уменьшения первые три вклада стали равны $$0,13,14$$, а остальные 17 вкладов равны 30. Тогда
$$ \overline{x}=\frac{0+13+14+17\cdot 30}{19}=\frac{537}{19}=28\frac{5}{19}. $$
д) После уменьшения первые шесть вкладов стали равны 0, седьмой стал равен 14, а оставшиеся 13 вкладов равны 40. Тогда
$$ \overline{x}=\frac{6\cdot 0+14+13\cdot 40}{14}=\frac{534}{14}=38\frac{1}{7}. $$
е) Чтобы новое среднее было наибольшим, нужно как можно больше уменьшить число вкладов, которые остаются в среднем, и как можно больше увеличить сумму оставшихся вкладов. Это достигается в случае из пункта д: шесть вкладов обнуляются, один вклад становится равным 14, а остальные — максимально возможные, то есть 40. Поэтому
$$ \overline{x}_{\max}=38\frac{1}{7}. $$