Упр.32.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Докажем тождества, используя формулы Эйлера:

   $$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.$$

   а)

   $$2\sin z\cos z =2\cdot \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} =\frac{(e^{iz})^2-(e^{-iz})^2}{2i} =\frac{e^{2iz}-e^{-2iz}}{2i} =\sin 2z.$$

   б)

   $$\cos^2 z-\sin^2 z =\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)^2 =\frac{e^{2iz}+2+e^{-2iz}}{4}-\frac{-e^{2iz}+2-e^{-2iz}}{4} =\frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2} =\cos 2z.$$

   в)

   $$\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2 =\frac{e^{iz_1}-e^{-iz_1}}{2i}\cdot \frac{e^{iz_2}+e^{-iz_2}}{2} +\frac{e^{iz_1}+e^{-iz_1}}{2}\cdot \frac{e^{iz_2}-e^{-iz_2}}{2i}$$
   $$=\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{i(z_1-z_2)}+e^{i(z_2-z_1)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i} +\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{i(z_2-z_1)}+e^{i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}$$
   $$=\frac{2e^{i(z_1+z_2)}-2e^{-i(z_1+z_2)}}{4i} =\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{2i} =\sin(z_1+z_2).$$

   г)

   $$\cos z_1\cos z_2+\sin z_1\sin z_2 =\frac{e^{iz_1}+e^{-iz_1}}{2}\cdot \frac{e^{iz_2}+e^{-iz_2}}{2} +\frac{e^{iz_1}-e^{-iz_1}}{2i}\cdot \frac{e^{iz_2}-e^{-iz_2}}{2i}$$
   $$=\frac{e^{i(z_1+z_2)}+e^{i(z_1-z_2)}+e^{i(z_2-z_1)}+e^{-i(z_1+z_2)}}{4} -\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{i(z_1-z_2)}-e^{i(z_2-z_1)}+e^{-i(z_1+z_2)}}{4}$$
   $$=\frac{e^{i(z_1-z_2)}+e^{i(z_2-z_1)}}{2} =\frac{e^{i(z_1-z_2)}+e^{-i(z_1-z_2)}}{2} =\cos(z_1-z_2).$$

2. Пусть в 20 банках были вклады $$a_1,a_2,\dots,a_{20}$$, причём

   $$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{20}}{20}=27,\qquad 1\le a_i\le 40.$$

   После снятия по 1 млн р. с некоторых вкладов и закрытия обнулившихся вкладов новые вклады не превосходят старых.

   а) Если половина вкладов равна 1 млн р., то остальные 10 вкладов не превосходят 40 млн р. Тогда

   $$\overline{x}\le \frac{10\cdot 1+10\cdot 40}{20}=\frac{410}{20}=20{,}5<27.$$

   Значит, так быть не могло.

   б) Если вкладов по 1 млн р. было 7, то остальные 13 вкладов не превосходят 40 млн р. Тогда

   $$\overline{x}\le \frac{7\cdot 1+13\cdot 40}{20}=\frac{527}{20}=26{,}35<27.$$

   Значит, и это невозможно.

   в) Пусть вкладов по 1 млн р. было $$k$$. Тогда остальные $$20-k$$ вкладов не меньше 1 и не больше 40, а после уменьшения среднее не может превышать

   $$\overline{x}\le \frac{k\cdot 1+(20-k)\cdot 40}{20}.$$

   Так как исходное среднее равно 27, то

   $$\frac{k+40(20-k)}{20}\ge 27$$
   $$k+800-40k\ge 540$$
   $$39k\le 260$$
   $$k\le 6{,}66\ldots$$

   Следовательно, вкладов по 1 млн р. было не более 6.

   г) После уменьшения первые три вклада стали равны $$0,13,14$$, а остальные 17 вкладов равны 30. Тогда

   $$\overline{x}=\frac{0+13+14+17\cdot 30}{19}=\frac{537}{19}=28\frac{5}{19}.$$

   д) После уменьшения первые шесть вкладов стали равны 0, седьмой стал равен 14, а оставшиеся 13 вкладов равны 40. Тогда

   $$\overline{x}=\frac{6\cdot 0+14+13\cdot 40}{14}=\frac{534}{14}=38\frac{1}{7}.$$

   е) Чтобы новое среднее было наибольшим, нужно как можно больше уменьшить число вкладов, которые остаются в среднем, и как можно больше увеличить сумму оставшихся вкладов. Это достигается в случае из пункта д: шесть вкладов обнуляются, один вклад становится равным 14, а остальные — максимально возможные, то есть 40. Поэтому

   $$\overline{x}_{\max}=38\frac{1}{7}.$$

Ответ

а) нет; б) нет; в) не более 6; г) $$28\frac{5}{19}$$; д) $$38\frac{1}{7}$$; е) $$38\frac{1}{7}$$.