Упр.32.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Докажите тождество:
а) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\sin z$$;
б) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=-\sin z$$;
в) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos z$$;
г) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=\cos z$$. - Среднее всех отметок ученика по физкультуре равно $$3{,}8$$. Ученик решил улучшить это среднее. Для этого он планирует в электронном журнале «удвоить» пятёрки: к каждой уже имеющейся пятёрке дописать ещё одну пятёрку.
а) Вычислите среднее отметок $$7\{5,\ldots,5\}, 1, 1, 1$$.
б) Приведите пример того же среднего $$3{,}8$$ для отметок без единиц.
в) Приведите пример того же среднего $$3{,}8$$ для отметок без пятёрок.
г) Докажите, что наибольшая возможная частота пятёрок равна $$0{,}7$$.
д) Докажите, что среднее значение новых отметок есть дробнолинейная функция от частоты пятёрок в первоначальном наборе отметок.
е) Найдите наибольшее возможное значение среднего новых отметок.
Используем формулы приведения:
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\sin z,$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=-\sin z,$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos z,$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=\cos z.$$Следовательно, все тождества верны.
Пусть в первоначальном наборе было $$n$$ отметок, из них $$k$$ пятёрок. Тогда среднее равно
$$\frac{S}{n}=3{,}8,$$
где $$S$$ — сумма всех отметок. После «удвоения» пятёрок сумма станет
$$S+5k,$$
а число отметок —
$$n+k.$$
Тогда среднее новых отметок равно
$$\overline{x}=\frac{S+5k}{n+k}=\frac{3{,}8n+5k}{n+k}.$$
Обозначим частоту пятёрок в первоначальном наборе через
$$v_5=\frac{k}{n}.$$
Тогда
$$\overline{x}=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5},$$
то есть среднее новых отметок — дробно-линейная функция от $$v_5$$.
Так как среднее первоначальных отметок равно $$3{,}8$$, то
$$5k+4(n-k)\le 3{,}8n,$$
или
$$4n+k\le 3{,}8n,$$
$$k\le 0{,}7n.$$Значит, наибольшая возможная частота пятёрок равна $$0{,}7$$.
Функция
$$f(v)=\frac{3{,}8+5v}{1+v}$$
возрастает при $$v\ge 0$$, поэтому наибольшее значение достигается при $$v=0{,}7$$:
$$f(0{,}7)=\frac{3{,}8+5\cdot 0{,}7}{1+0{,}7}=\frac{7{,}3}{1{,}7}=\frac{73}{17}=4\frac{5}{17}.$$
Ответ
а) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\sin z$$; $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=-\sin z$$; $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos z$$; $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=\cos z$$.
б) $$3{,}8$$.
в) например, $$4;4;4;4;4;4;4;4;3;3$$.
г) $$0{,}7$$.
д) $$\overline{x}=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5}$$.
е) $$4\frac{5}{17}$$.
