Упр.32.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) cos(?/2 — z) = sin(z); в) cos(?/2 — z) = cos(z);
б) cos(?/2 + z) = -sin(z); г) sin(?/2 + z) = cos(z). Среднее всех отметок ученика по физкультуре равно 3,8. Ученик решил улучшить это среднее. Для этого он планирует в электронном журнале «удвоить» пятёрки: к каждой уже имеющейся пятёрке дописать ещё одну пятёрку.
а) Вычислите среднее отметок 7{5, …, 5}, 1, 1, 1.
б) Приведите пример того же среднего 3,8 для отметок без единиц.
в) Приведите пример того же среднего 3,8 для отметок без пятёрок.
г) Докажите, что наибольшая возможная частота пятёрок равна 0,7.
д) Докажите, что среднее значение новых отметок есть дробнолинейная функция от частоты пятёрок в первоначальном наборе отметок.
е) Найдите наибольшее возможное значение среднего новых отметок.

1. Используем формулы приведения:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\sin z,$$
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=-\sin z,$$
   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos z,$$
   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=\cos z.$$

   Следовательно, все тождества верны.

2. Пусть в первоначальном наборе было $$n$$ отметок, из них $$k$$ пятёрок. Тогда среднее равно

   $$\frac{S}{n}=3{,}8,$$

   где $$S$$ — сумма всех отметок. После «удвоения» пятёрок сумма станет

   $$S+5k,$$

   а число отметок —

   $$n+k.$$

3. Тогда среднее новых отметок равно

   $$\overline{x}=\frac{S+5k}{n+k}=\frac{3{,}8n+5k}{n+k}.$$

   Обозначим частоту пятёрок в первоначальном наборе через

   $$v_5=\frac{k}{n}.$$

   Тогда

   $$\overline{x}=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5},$$

   то есть среднее новых отметок — дробно-линейная функция от $$v_5$$.

4. Так как среднее первоначальных отметок равно $$3{,}8$$, то

   $$5k+4(n-k)\le 3{,}8n,$$

   или

   $$4n+k\le 3{,}8n,$$
   $$k\le 0{,}7n.$$

   Значит, наибольшая возможная частота пятёрок равна $$0{,}7$$.

5. Функция

   $$f(v)=\frac{3{,}8+5v}{1+v}$$

   возрастает при $$v\ge 0$$, поэтому наибольшее значение достигается при $$v=0{,}7$$:

   $$f(0{,}7)=\frac{3{,}8+5\cdot 0{,}7}{1+0{,}7}=\frac{7{,}3}{1{,}7}=\frac{73}{17}=4\frac{5}{17}.$$

Ответ

а) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\sin z$$; $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=-\sin z$$; $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos z$$; $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=\cos z$$.
б) $$3{,}8$$.
в) например, $$4;4;4;4;4;4;4;4;3;3$$.
г) $$0{,}7$$.
д) $$\overline{x}=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5}$$.
е) $$4\frac{5}{17}$$.