Упр.32.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) cos(2? — z) = cos(z); в) cos(? + z) = -cos(z);
б) sin(2? — z) = -sin(z); г) sin(? + z) = -sin(z). Компании № 1, № 2, …» № 20 имеют по несколько счетов в банке В, в среднем по а счетов. Банк решил увеличить это среднее, предложив открыть дополнительно компании № 1 один счёт, компании № 2 — два счёта, компании № 3 — три счёта и т. д. В каком наименьшем числе компаний следует таким образом открыть счета для того, чтобы среднее числа счетов стало не меньше b, если:
а) a=2, b=3;
б) a=3, b=5;
в) a=10, b=15;
г) a=10, b=20;
д) a=2, b>2;
е) b>a>0?
Пусть вначале в среднем у каждой из 20 компаний было по $$a$$ счетов. Тогда всего счетов было
$$20a.$$
Если открыть счета в первых $$n$$ компаниях по правилу: первой — 1 счёт, второй — 2 счёта, …, $$n$$-й — $$n$$ счетов, то добавится
$$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
счетов. Новое среднее станет не меньше $$b$$, если
$$\frac{20a+\frac{n(n+1)}{2}}{20}\ge b.$$
Отсюда
$$20a+\frac{n(n+1)}{2}\ge 20b,$$
$$n(n+1)\ge 40(b-a).$$
Теперь решим для каждого случая.
$$a=2,\ b=3$$
$$n(n+1)\ge 40,$$
$$n^2+n-40\ge 0.$$
Корни уравнения $$n^2+n-40=0$$: $$n=-8$$ и $$n=5$$. Так как $$n>0$$, получаем $$n\ge 5$$. Проверим: при $$n=5$$
$$5\cdot 6=30<40,$$
значит, нужно $$n=6$$.
$$a=3,\ b=5$$
$$n(n+1)\ge 80,$$
$$n^2+n-80\ge 0.$$
Корни: $$n=-9{,}5$$ и $$n=8{,}5$$, значит наименьшее целое $$n=9$$.
$$a=10,\ b=15$$
$$n(n+1)\ge 200,$$
$$n^2+n-200\ge 0.$$
Корни: $$n=-14{,}5$$ и $$n=13{,}5$$, значит наименьшее целое $$n=14$$.
$$a=10,\ b=20$$
$$n(n+1)\ge 400,$$
$$n^2+n-400\ge 0.$$
Корни: $$n=-20{,}5$$ и $$n=19{,}5$$, значит наименьшее целое $$n=20$$.
$$a=2,\ b>2$$
Нужно найти наименьшее целое $$n$$, для которого
$$n(n+1)\ge 40(b-2).$$
$$b>a>0$$
Нужно найти наименьшее целое $$n$$, для которого
$$n(n+1)\ge 40(b-a).$$
Ответ
а) $$6$$; б) $$9$$; в) $$14$$; г) $$20$$; д) наименьшее целое решение неравенства $$n(n+1)\ge 40(b-2)$$; е) наименьшее целое решение неравенства $$n(n+1)\ge 40(b-a)$$.
