Упр.32.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) e^z = 1; б) e^z = -1; в) e^z = i; г) e^z = -5i. По плану средние ежемесячные расходы на услуги связи за год должны быть не более а тыс. р., но за первые 7 месяцев года они оказались равны b тыс. р., b>a. Найдите наибольшее среднее значение c ежемесячных расходов на связь за оставшиеся месяцы, обеспечивающее выполнение плана, если:
а) a=10, b=11, c — целое число тысяч рублей;
б) a=11, b=13, c — целое число тысяч рублей;
в) a=20, b=23, c — целое число тысяч рублей;
г) a=20, b=23, c — целое число сотен рублей;
д) a>5, b=a+3;
е) 0 < a < b.

1. Решим уравнения, используя формулу $$e^z = r(\cos y + i\sin y).$$

   а) $$e^z=1.$$ Тогда $$1=\cos y+i\sin y,$$ откуда $$\cos y=1,\ \sin y=0.$$ Следовательно,

   $$z=2\pi ni,\quad n\in\mathbb Z.$$

   б) $$e^z=-1.$$ Тогда $$\cos y+i\sin y=-1,$$ значит $$\cos y=-1,\ \sin y=0.$$ Поэтому

   $$z=(2n+1)\pi i,\quad n\in\mathbb Z.$$

   в) $$e^z=i.$$ Тогда $$\cos y+i\sin y=i,$$ откуда $$\cos y=0,\ \sin y=1.$$ Значит,

   $$z=\left(2n+\frac12\right)\pi i,\quad n\in\mathbb Z.$$

   г) $$e^z=-5i.$$ Представим число в показательной форме:

   $$-5i=5(\cos y+i\sin y).$$

   Тогда $$5=e^{\operatorname{Re} z},$$ то есть $$\operatorname{Re} z=\ln 5,$$ а также $$\cos y=0,\ \sin y=-1.$$ Следовательно,

   $$z=\ln 5+\left(2n-\frac12\right)\pi i,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. Среднее значение расходов за год не должно превышать $$a$$, значит

   $$\frac{7b+5c}{12}\le a.$$

   Отсюда

   $$7b+5c\le 12a,$$

   $$5c\le 12a-7b,$$

   $$c\le \frac{12a-7b}{5}.$$

   а) $$a=10,\ b=11.$$ Тогда

   $$c\le \frac{12\cdot 10-7\cdot 11}{5}=\frac{43}{5}=8{,}6.$$

   Наибольшее целое $$c=8.$$

   б) $$a=11,\ b=13.$$ Тогда

   $$c\le \frac{12\cdot 11-7\cdot 13}{5}=\frac{41}{5}=8{,}2.$$

   Наибольшее целое $$c=8.$$

   в) $$a=20,\ b=23.$$ Тогда

   $$c\le \frac{12\cdot 20-7\cdot 23}{5}=\frac{79}{5}=15{,}8.$$

   Наибольшее целое $$c=15.$$

   г) $$a=20,\ b=23,$$ а $$c$$ — целое число сотен рублей. Тогда

   $$c\le 15{,}8.$$

   Наибольшее целое число сотен рублей: $$c=15,$$ то есть $$1500$$ руб.

   д) $$b=a+3.$$ Тогда

   $$c\le \frac{12a-7(a+3)}{5}=\frac{5a-21}{5}=a-4{,}2.$$

   е) При $$0<a<b$$ имеем

   $$c\le \frac{12a-7b}{5}=2{,}4a-1{,}4b.$$

Ответ

а) $$z=2\pi ni,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$z=(2n+1)\pi i,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$z=\left(2n+\frac12\right)\pi i,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$z=\ln 5+\left(2n-\frac12\right)\pi i,\ n\in\mathbb Z$$;
расходы: а) $$8$$ тыс. р.; б) $$8$$ тыс. р.; в) $$15$$ тыс. р.; г) $$1500$$ руб.; д) $$a-4{,}2$$; е) $$2{,}4a-1{,}4b$$.