Упр.32.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) z = ln(2) + 6?i; в) z = ln(0,5) — 6,5?i;
б) z = ln(5) + 5?i; г) z = ln(0,2) — 7,5?i. По плану средний ежемесячный доход предприятия за год должен быть не менее а млн р., но за первые полгода он оказался равным b млн р., b < a. Найдите наименьшее среднее значение с ежемесячного дохода за вторые полгода, обеспечивающего выполнение плана, если: а) a=2, b=1; г) a=10, b=7; б) a=3, b=2; д) a>1, b=a-1;
в) a=10, b=9; е) a>b>0.

Пользуемся формулой $$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$$

1. $$e^{\ln 2+6\pi i}=e^{\ln 2}\cdot e^{6\pi i}=2(\cos 6\pi+i\sin 6\pi)=2.$$
2. $$e^{\ln 5+5\pi i}=e^{\ln 5}\cdot e^{5\pi i}=5(\cos 5\pi+i\sin 5\pi)=-5.$$
3. $$e^{\ln 0{,}5-6{,}5\pi i}=e^{\ln 0{,}5}\cdot e^{-6{,}5\pi i}=0{,}5(\cos 6{,}5\pi-i\sin 6{,}5\pi)=-0{,}5i.$$
4. $$e^{\ln 0{,}2-7{,}5\pi i}=e^{\ln 0{,}2}\cdot e^{-7{,}5\pi i}=0{,}2(\cos 7{,}5\pi-i\sin 7{,}5\pi)=0{,}2i.$$

Для второго задания средний ежемесячный доход за год должен быть не меньше $$a,$$ значит

$$\frac{b+c}{2}\ge a,$$

где $$c$$ — средний доход за вторые полгода. Тогда

1. $$a=2,\ b=1:$$
   $$\frac{1+c}{2}\ge 2,$$
   $$1+c\ge 4,$$
   $$c\ge 3.$$
2. $$a=3,\ b=2:$$
   $$\frac{2+c}{2}\ge 3,$$
   $$2+c\ge 6,$$
   $$c\ge 4.$$
3. $$a=10,\ b=9:$$
   $$\frac{9+c}{2}\ge 10,$$
   $$9+c\ge 20,$$
   $$c\ge 11.$$
4. $$a=10,\ b=7:$$
   $$\frac{7+c}{2}\ge 10,$$
   $$7+c\ge 20,$$
   $$c\ge 13.$$
5. $$a>1,\ b=a-1:$$
   $$\frac{a-1+c}{2}\ge a,$$
   $$a-1+c\ge 2a,$$
   $$c\ge a+1.$$
6. $$a>b>0:$$
   $$\frac{b+c}{2}\ge a,$$
   $$b+c\ge 2a,$$
   $$c\ge 2a-b.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$-5$$; 3) $$-0{,}5i$$; 4) $$0{,}2i$$; 5) $$3$$; 6) $$4$$; 7) $$11$$; 8) $$13$$; 9) $$a+1$$; 10) $$2a-b$$.