Упр.32.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите тождество: а) $$e^{z+2\pi i}=e^z$$; в) $$e^{z-\frac{\pi i}{2}}=-ie^z$$; б) $$e^{z-\pi i}=-e^z$$; г) $$e^{z-\frac{3\pi i}{2}}=-ie^z$$.
Ученик хочет, чтобы его средняя отметка стала больше $$4$$. Какое наименьшее количество пятёрок подряд он должен для этого получить, если сейчас его отметки таковы: а) $$4, 4, 4, 4, 4, 3$$; г) $$4, 4, 3, 3, 2, 2$$; б) $$4, 4, 4, 4, 3, 3$$; д) $$3, 3, 3, 3, 2, 2$$; в) $$4, 4, 4, 4, 4, 2$$; е) $$2, 2, 2, 2, 2$$?

Подробный ответ

Докажем тождества. Используем формулу Эйлера:

$$e^{a+bi}=e^a(\cos b+i\sin b).$$

Тогда:

$$e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)=e^z,$$
$$e^{z-\pi i}=e^z\cdot e^{-\pi i}=e^z(\cos \pi-i\sin \pi)=-e^z,$$
$$e^{z-\frac{\pi i}{2}}=e^z\cdot e^{-\frac{\pi i}{2}}=e^z\left(\cos \frac{\pi}{2}-i\sin \frac{\pi}{2}\right)=-ie^z,$$
$$e^{z-\frac{3\pi i}{2}}=e^z\cdot e^{-\frac{3\pi i}{2}}=e^z\left(\cos \frac{3\pi}{2}-i\sin \frac{3\pi}{2}\right)=ie^z.$$

Найдём наименьшее число пятёрок подряд, чтобы средняя оценка стала больше 4. Пусть добавлено $$x$$ пятёрок. Тогда нужно решить неравенство

$$\frac{S+5x}{n+x}>4,$$

где $$S$$ — сумма имеющихся оценок, $$n=6$$.

а) $$4,4,4,4,4,3$$
$$\frac{4\cdot 5+3+5x}{6+x}>4$$
$$\frac{23+5x}{6+x}>4$$
$$23+5x>24+4x$$
$$x>1.$$
Минимум: $$x=2$$.
б) $$4,4,4,4,3,3$$
$$\frac{4\cdot 4+3\cdot 2+5x}{6+x}>4$$
$$\frac{22+5x}{6+x}>4$$
$$22+5x>24+4x$$
$$x>2.$$
Минимум: $$x=3$$.
в) $$4,4,4,4,4,2$$
$$\frac{5\cdot 4+2+5x}{6+x}>4$$
$$\frac{22+5x}{6+x}>4$$
$$22+5x>24+4x$$
$$x>2.$$
Минимум: $$x=3$$.
г) $$4,4,3,3,2,2$$
$$\frac{2\cdot 4+2\cdot 3+2\cdot 2+5x}{6+x}>4$$
$$\frac{18+5x}{6+x}>4$$
$$18+5x>24+4x$$
$$x>6.$$
Минимум: $$x=7$$.
д) $$3,3,3,3,2,2$$
$$\frac{4\cdot 3+2\cdot 2+5x}{6+x}>4$$
$$\frac{16+5x}{6+x}>4$$
$$16+5x>24+4x$$
$$x>8.$$
Минимум: $$x=9$$.
е) $$2,2,2,2,2$$
$$\frac{5\cdot 2+5x}{5+x}>4$$
$$\frac{10+5x}{5+x}>4$$
$$10+5x>20+4x$$
$$x>10.$$
Минимум: $$x=11$$.