Упр.32.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) e^(i(t+2?)) = e^(it); в) e^(i(t + ?/2)) = i · e^(it);
б) e^(i(t+?)) = -e^(it); г) e^(i(t + 3?/2)) = -i · e^(it). Какое число следует включить в набор -3, 4, 5, 6 для того, чтобы среднее стало равняться:
а) -2; б) 0; в) 100; г) 1000; д) 2020; е) ??

Подробный ответ

Докажем тождества, используя формулу Эйлера $$e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\sin \alpha.$$

а)
$$ e^{i(t+2\pi)}=e^{it}\cdot e^{i2\pi}=e^{it}(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)=e^{it}. $$

б)
$$ e^{i(t+\pi)}=e^{it}\cdot e^{i\pi}=e^{it}(\cos \pi+i\sin \pi)=-e^{it}. $$

в)
$$ e^{i\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}=e^{it}\cdot e^{i\pi/2}=e^{it}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=ie^{it}. $$

г)
$$ e^{i\left(t+\frac{3\pi}{2}\right)}=e^{it}\cdot e^{i3\pi/2}=e^{it}\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right)=-ie^{it}. $$

Теперь рассмотрим набор чисел $$-3,\ 4,\ 5,\ 6,\ x.$$ Его среднее равно

$$ \overline{x}=\frac{-3+4+5+6+x}{5}=\frac{12+x}{5}=2{,}4+\frac{x}{5}. $$

Найдём число $$x$$ для каждого случая.

а)
$$ 2{,}4+\frac{x}{5}=-2,\quad \frac{x}{5}=-4{,}4,\quad x=-22. $$

б)
$$ 2{,}4+\frac{x}{5}=0,\quad \frac{x}{5}=-2{,}4,\quad x=-12. $$

в)
$$ 2{,}4+\frac{x}{5}=100,\quad \frac{x}{5}=97{,}6,\quad x=488. $$