Упр.32.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Докажите тождество: а) $$e^{i(t+2\pi)}=e^{it}$$; в) $$e^{i\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}=i\cdot e^{it}$$; б) $$e^{i(t+\pi)}=-e^{it}$$; г) $$e^{i\left(t+\frac{3\pi}{2}\right)}=-i\cdot e^{it}$$.
- Какое число следует включить в набор $$-3, 4, 5, 6$$ для того, чтобы среднее стало равняться: а) $$-2$$; б) $$0$$; в) $$100$$; г) $$1000$$; д) $$2020$$; е) ??
Докажем тождества, используя формулу Эйлера $$e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\sin \alpha.$$
а)
$$e^{i(t+2\pi)}=e^{it}\cdot e^{i2\pi}=e^{it}(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)=e^{it}.$$
б)
$$e^{i(t+\pi)}=e^{it}\cdot e^{i\pi}=e^{it}(\cos \pi+i\sin \pi)=-e^{it}.$$
в)
$$e^{i\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}=e^{it}\cdot e^{i\pi/2}=e^{it}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=ie^{it}.$$
г)
$$e^{i\left(t+\frac{3\pi}{2}\right)}=e^{it}\cdot e^{i3\pi/2}=e^{it}\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right)=-ie^{it}.$$
Теперь рассмотрим набор чисел $$-3,\ 4,\ 5,\ 6,\ x.$$ Его среднее равно
$$\overline{x}=\frac{-3+4+5+6+x}{5}=\frac{12+x}{5}=2{,}4+\frac{x}{5}.$$
Найдём число $$x$$ для каждого случая.
а)
$$2{,}4+\frac{x}{5}=-2,\quad \frac{x}{5}=-4{,}4,\quad x=-22.$$
б)
$$2{,}4+\frac{x}{5}=0,\quad \frac{x}{5}=-2{,}4,\quad x=-12.$$
в)
$$2{,}4+\frac{x}{5}=100,\quad \frac{x}{5}=97{,}6,\quad x=488.$$
г)
$$2{,}4+\frac{x}{5}=1000,\quad \frac{x}{5}=997{,}6,\quad x=4988.$$
д)
$$2{,}4+\frac{x}{5}=2020,\quad \frac{x}{5}=2017{,}6,\quad x=10088.$$
е)
$$\frac{12+x}{5}=\pi,\quad 12+x=5\pi,\quad x=5\pi-12.$$
Ответ
а) $$-22$$; б) $$-12$$; в) $$488$$; г) $$4988$$; д) $$10088$$; е) $$5\pi-12$$.
