Упр.32.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите $$e^{it}$$ при данном значении $$t$$: а) $$t=\frac{\pi}{6}$$; б) $$t=\frac{\pi}{4}$$; в) $$t=-\frac{2\pi}{3}$$; г) $$t=-\frac{5\pi}{4}$$.
2. Вычислите среднее следующего набора натуральных чисел: а) от 1 до 5 включительно; б) от 2 до 6 включительно; в) от 3 до 12 включительно; г) от 4 до 23 включительно; д) состоящего из всех нечётных однозначных чисел; е) состоящего из всех простых однозначных чисел.

Используем формулу Эйлера:

$$e^{it}=\cos t+i\sin t.$$

Тогда:

$$\begin{aligned} \text{а) } e^{\frac{\pi i}{6}}&=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\\ \text{б) } e^{\frac{\pi i}{4}}&=\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,\\ \text{в) } e^{-\frac{2\pi i}{3}}&=\cos \frac{2\pi}{3}-i\sin \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\\ \text{г) } e^{-\frac{5\pi i}{4}}&=\cos \frac{5\pi}{4}-i\sin \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i. \end{aligned}$$

Найдём среднее арифметическое наборов натуральных чисел.

$$\begin{aligned} \text{а) } \bar{x}&=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3,\\ \text{б) } \bar{x}&=\frac{2+3+4+5+6}{5}=\frac{20}{5}=4,\\ \text{в) } \bar{x}&=\frac{3+4+5+6+7+8+9+10+11+12}{10}=\frac{3+12}{2}=7{,}5,\\ \text{г) } \bar{x}&=\frac{4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23}{20}=\frac{4+23}{2}=13{,}5,\\ \text{д) } \bar{x}&=\frac{1+3+5+7+9}{5}=\frac{25}{5}=5,\\ \text{е) } \bar{x}&=\frac{2+3+5+7}{4}=\frac{17}{4}=4{,}25. \end{aligned}$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\quad \text{б) } \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,\quad \text{в) } -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad \text{г) } -\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i;\\ &\text{а) } 3,\quad \text{б) } 4,\quad \text{в) } 7{,}5,\quad \text{г) } 13{,}5,\quad \text{д) } 5,\quad \text{е) } 4{,}25. \end{aligned}$$