Упр.32.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) cos z = 0; в) cos z = -3;
б) sin z = -1; г) sin z = i. В ряд через запятую произвольно написали 47 натуральных чисел, для которых среднее арифметическое любых 9 подряд идущих чисел меньше 1,7.
а) Может ли среди 9 подряд идущих чисел быть ровно одна единица?
б) Может ли среди 9 подряд идущих чисел быть ровно две единицы?
в) Докажите, что среди 9 подряд идущих чисел всегда есть хотя бы три единицы.
г) Какое наименьшее количество единиц может быть среди всех выписанных чисел?
д) Докажите, что сумма всех 47 чисел не больше 83.
е) Приведите пример того, что сумма всех 47 чисел может равняться 83.

1. а) $$\cos z=0$$

   $$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0$$
   $$e^{iz}+e^{-iz}=0$$
   $$e^{2iz}+1=0$$
   $$e^{2iz}=-1=e^{i(\pi+2\pi n)}$$
   $$2iz=i(\pi+2\pi n)$$
   $$z=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sin z=-1$$

   $$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=-1$$
   $$e^{iz}-e^{-iz}=-2i$$
   $$e^{2iz}+2ie^{iz}-1=0$$
   $$D=(2i)^2+4=8$$
   $$e^{iz}=\frac{-2i\pm\sqrt{8}}{2}=-i\pm\sqrt{2}$$
   Подходит значение
   $$e^{iz}=-i$$
   тогда
   $$iz=i\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$
   $$z=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\cos z=-3$$

   Для любого комплексного числа $$z$$ выполняется
   $$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.$$
   Пусть $$w=e^{iz}$$. Тогда
   $$\frac{w+\frac1w}{2}=-3,$$
   $$w^2+6w+1=0,$$
   $$w=-3\pm 2\sqrt2.$$
   Оба корня отрицательны, значит
   $$w=e^{iz}=-(3\mp 2\sqrt2)=e^{i(\pi+2\pi n)}e^{\pm \ln(3+2\sqrt2)}.$$
   Поэтому
   $$z=\pi(2n+1)\pm i\ln(3+2\sqrt2),\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\sin z=i$$

   $$\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=i$$
   $$e^{iz}-e^{-iz}=-2$$
   $$e^{2iz}+2e^{iz}-1=0$$
   $$D=2^2+4=8$$
   $$e^{iz}=\frac{-2\pm\sqrt8}{2}=-1\pm\sqrt2.$$
   Получаем два значения:
   $$e^{iz}=\sqrt2-1=e^{\ln(\sqrt2-1)}$$
   и
   $$e^{iz}=-(1+\sqrt2)=e^{i(\pi+2\pi n)+\ln(\sqrt2+1)}.$$
   Следовательно,
   $$z=2\pi n-i\ln(\sqrt2-1)$$
   или
   $$z=\pi(2n+1)-i\ln(\sqrt2+1),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$z=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$z=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$z=\pi(2n+1)\pm i\ln(3+2\sqrt2),\ n\in\mathbb Z$$

г) $$z=2\pi n-i\ln(\sqrt2-1)$$ или $$z=\pi(2n+1)-i\ln(\sqrt2+1),\ n\in\mathbb Z$$