Упр.32.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$\cos z = 0$$;
в) $$\cos z = -3$$;
б) $$\sin z = -1$$;
г) $$\sin z = i$$. - В ряд через запятую произвольно написали $$47$$ натуральных чисел, для которых среднее арифметическое любых $$9$$ подряд идущих чисел меньше $$1{,}7$$.
а) Может ли среди $$9$$ подряд идущих чисел быть ровно одна единица?
б) Может ли среди $$9$$ подряд идущих чисел быть ровно две единицы?
в) Докажите, что среди $$9$$ подряд идущих чисел всегда есть хотя бы три единицы.
г) Какое наименьшее количество единиц может быть среди всех выписанных чисел?
д) Докажите, что сумма всех $$47$$ чисел не больше $$83$$.
е) Приведите пример того, что сумма всех $$47$$ чисел может равняться $$83$$.
а) $$\cos z=0$$
$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0$$
$$e^{iz}+e^{-iz}=0$$
$$e^{2iz}+1=0$$
$$e^{2iz}=-1=e^{i(\pi+2\pi n)}$$
$$2iz=i(\pi+2\pi n)$$
$$z=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$б) $$\sin z=-1$$
$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=-1$$
$$e^{iz}-e^{-iz}=-2i$$
$$e^{2iz}+2ie^{iz}-1=0$$
$$D=(2i)^2+4=8$$
$$e^{iz}=\frac{-2i\pm\sqrt{8}}{2}=-i\pm\sqrt{2}$$
Подходит значение
$$e^{iz}=-i$$
тогда
$$iz=i\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$
$$z=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$в) $$\cos z=-3$$
Для любого комплексного числа $$z$$ выполняется
$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.$$
Пусть $$w=e^{iz}$$. Тогда
$$\frac{w+\frac1w}{2}=-3,$$
$$w^2+6w+1=0,$$
$$w=-3\pm 2\sqrt2.$$
Оба корня отрицательны, значит
$$w=e^{iz}=-(3\mp 2\sqrt2)=e^{i(\pi+2\pi n)}e^{\pm \ln(3+2\sqrt2)}.$$
Поэтому
$$z=\pi(2n+1)\pm i\ln(3+2\sqrt2),\quad n\in\mathbb Z.$$г) $$\sin z=i$$
$$\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=i$$
$$e^{iz}-e^{-iz}=-2$$
$$e^{2iz}+2e^{iz}-1=0$$
$$D=2^2+4=8$$
$$e^{iz}=\frac{-2\pm\sqrt8}{2}=-1\pm\sqrt2.$$
Получаем два значения:
$$e^{iz}=\sqrt2-1=e^{\ln(\sqrt2-1)}$$
и
$$e^{iz}=-(1+\sqrt2)=e^{i(\pi+2\pi n)+\ln(\sqrt2+1)}.$$
Следовательно,
$$z=2\pi n-i\ln(\sqrt2-1)$$
или
$$z=\pi(2n+1)-i\ln(\sqrt2+1),\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$z=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
б) $$z=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
в) $$z=\pi(2n+1)\pm i\ln(3+2\sqrt2),\ n\in\mathbb Z$$
г) $$z=2\pi n-i\ln(\sqrt2-1)$$ или $$z=\pi(2n+1)-i\ln(\sqrt2+1),\ n\in\mathbb Z$$
