Упр.31.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) sin 0,5; в) sin 0,1;
б) cos 0,2; г) cos 0,1. Для всех значений параметра a решите уравнение:
а) (a-3)x^2+2x-5=0;
б) (a-3)x^2-2(a+1)x+a+2=0.

Используем приближённые формулы:

$$\sin x \approx x-\frac{x^3}{6}, \qquad \cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}.$$

а) $$\sin 0{,}5 \approx 0{,}5-\frac{0{,}5^3}{6}=0{,}5-\frac{0{,}125}{6}\approx 0{,}5-0{,}0208\approx 0{,}479.$$

б) $$\cos 0{,}2 \approx 1-\frac{0{,}2^2}{2}=1-\frac{0{,}04}{2}=1-0{,}02=0{,}98.$$

в) $$\sin 0{,}1 \approx 0{,}1-\frac{0{,}1^3}{6}=0{,}1-\frac{0{,}001}{6}\approx 0{,}1-0{,}00017\approx 0{,}0998.$$

г) $$\cos 0{,}1 \approx 1-\frac{0{,}1^2}{2}=1-\frac{0{,}01}{2}=1-0{,}005=0{,}995.$$

а) $$\left(a-3\right)x^2+2x-5=0.$$

Если $$a=3,$$ то получаем линейное уравнение:

$$2x-5=0,\qquad x=\frac{5}{2}.$$

Если $$a\ne 3,$$ то

$$D=2^2-4(a-3)(-5)=4+20a-60=20a-56=4(5a-14).$$

Тогда

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{4(5a-14)}}{2(a-3)}=\frac{-1\pm\sqrt{5a-14}}{a-3}.$$

При $$5a-14<0$$ действительных корней нет, то есть $$a<\frac{14}{5}.$$

б) $$\left(a-3\right)x^2-2(a+1)x+a+2=0.$$

Если $$a=3,$$ то

$$-8x+5=0,\qquad x=\frac{5}{8}.$$

Если $$a\ne 3,$$ то

$$D=\left[-2(a+1)\right]^2-4(a-3)(a+2).$$

$$D=4(a+1)^2-4(a-3)(a+2)=4\bigl((a+1)^2-(a-3)(a+2)\bigr).$$

$$D=4(3a+7).$$

Следовательно,

$$x=\frac{2(a+1)\pm\sqrt{4(3a+7)}}{2(a-3)}=\frac{a+1\pm\sqrt{3a+7}}{a-3}.$$

При $$3a+7<0$$ действительных корней нет, то есть $$a<-\frac{7}{3}.$$

Ответ

а) $$\sin 0{,}5\approx 0{,}479,\quad \cos 0{,}2=0{,}98,\quad \sin 0{,}1\approx 0{,}0998,\quad \cos 0{,}1=0{,}995.$$

а) $$\left(a-3\right)x^2+2x-5=0$$: при $$a=3$$ $$x=\frac{5}{2}$$; при $$a<\frac{14}{5}$$ действительных корней нет; при $$a\ge \frac{14}{5},\ a\ne 3$$

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{5a-14}}{a-3}.$$

б) $$\left(a-3\right)x^2-2(a+1)x+a+2=0$$: при $$a=3$$ $$x=\frac{5}{8}$$; при $$a<-\frac{7}{3}$$ действительных корней нет; при $$a\ge -\frac{7}{3},\ a\ne 3$$

$$x=\frac{a+1\pm\sqrt{3a+7}}{a-3}.$$