Упр.31.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1) Для $$x_n=\dfrac{a^n}{n!}$$ при $$a>1$$ найдём отношение соседних членов:

$$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{a^n} = \frac{a}{n+1}.$$

а) Тогда

$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{a}{n+1} =0.$$

б) Так как $$a>1$$, то при достаточно больших $$n$$ выполняется

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{a}{n+1}<1,$$

значит, начиная с некоторого номера,

$$x_{n+1}<x_n.$$

в) Последовательность $$x_n>0$$ и, начиная с некоторого номера, убывает, значит, существует предел

$$c=\lim_{n\to\infty}x_n.$$

г) Переходя к пределу в равенстве

$$x_{n+1}=x_n\cdot \frac{x_{n+1}}{x_n},$$

получаем

$$c=c\cdot 0=0.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$(a+1)x^2-2(a+3)x+2a+3=0.$$

Его дискриминант:

$$D=[-2(a+3)]^2-4(a+1)(2a+3)$$

$$=4(a+3)^2-4(a+1)(2a+3)$$

$$=4\bigl(a^2+6a+9-2a^2-5a-3\bigr)$$

$$=-4(a^2-a-6)=-4(a+2)(a-3).$$

а) Уравнение линейно относительно $$x$$, если $$a+1=0$$, то есть

$$a=-1.$$

б) Ровно один корень уравнение имеет, если либо оно линейное, либо $$D=0$$:

$$a=-1 \quad \text{или} \quad -4(a+2)(a-3)=0.$$

Отсюда

$$a=-2,\,-1,\,3.$$

в) Два различных корня уравнение имеет при $$D>0$$ и $$a\neq -1$$:

$$-4(a+2)(a-3)>0$$

$$(a+2)(a-3)<0.$$

Следовательно,

$$-2<a<3,\quad a\neq -1.$$

То есть

$$a\in(-2,-1)\cup(-1,3).$$

г) Корней нет при $$D<0$$ и $$a\neq -1$$:

$$-4(a+2)(a-3)<0$$

$$(a+2)(a-3)>0.$$

Значит,

$$a<-2 \quad \text{или} \quad a>3.$$

Ответ

1) а) $$0$$; б) начиная с некоторого номера $$x_n>x_{n+1}$$; в) существует; г) $$c=0$$.

2) а) $$a=-1$$; б) $$a\in\{-2,-1,3\}$$; в) $$a\in(-2,-1)\cup(-1,3)$$; г) $$a\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$$.