Упр.31.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) lim(n>?; x_(n+1) / x_n) = 0;
б) x_n > x_(n+1), начиная с некоторого номера;
в) существует c = lim(n>?; x_n);
г) c = 0. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (a+1)x^2-2(a+3)+2a+3=0:
а) является линейным относительно х;
б) имеет ровно один корень;
в) имеет два различных корня;
г) не имеет корней.

1) Для $$x_n=\dfrac{a^n}{n!}$$ при $$a>1$$ найдём отношение соседних членов:

$$ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{a^n} = \frac{a}{n+1}. $$

а) Тогда

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{a}{n+1} =0. $$

б) Так как $$a>1$$, то при достаточно больших $$n$$ выполняется

$$ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{a}{n+1}<1, $$

значит, начиная с некоторого номера,

$$ x_{n+1}<x_n. $$

в) Последовательность $$x_n>0$$ и, начиная с некоторого номера, убывает, значит, существует предел

$$ c=\lim_{n\to\infty}x_n. $$

г) Переходя к пределу в равенстве

$$ x_{n+1}=x_n\cdot \frac{x_{n+1}}{x_n}, $$

получаем

$$ c=c\cdot 0=0. $$

2) Рассмотрим уравнение

$$ (a+1)x^2-2(a+3)x+2a+3=0. $$

Его дискриминант:

$$ D=[-2(a+3)]^2-4(a+1)(2a+3) $$

$$ =4(a+3)^2-4(a+1)(2a+3) $$

$$ =4\bigl(a^2+6a+9-2a^2-5a-3\bigr) $$

$$ =-4(a^2-a-6)=-4(a+2)(a-3). $$

а) Уравнение линейно относительно $$x$$, если $$a+1=0$$, то есть

$$ a=-1. $$

б) Ровно один корень уравнение имеет, если либо оно линейное, либо $$D=0$$:

$$ a=-1 \quad \text{или} \quad -4(a+2)(a-3)=0. $$

Отсюда

$$ a=-2,\,-1,\,3. $$

в) Два различных корня уравнение имеет при $$D>0$$ и $$a\neq -1$$:

$$ -4(a+2)(a-3)>0 $$

$$ (a+2)(a-3)<0. $$

Следовательно,

$$ -2<a<3,\quad a\neq -1. $$

То есть

$$ a\in(-2,-1)\cup(-1,3). $$

г) Корней нет при $$D<0$$ и $$a\neq -1$$:

$$ -4(a+2)(a-3)<0 $$

$$ (a+2)(a-3)>0. $$

Значит,

$$ a<-2 \quad \text{или} \quad a>3. $$

Ответ

1) а) $$0$$; б) начиная с некоторого номера $$x_n>x_{n+1}$$; в) существует; г) $$c=0$$.

2) а) $$a=-1$$; б) $$a\in\{-2,-1,3\}$$; в) $$a\in(-2,-1)\cup(-1,3)$$; г) $$a\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$$.