Упр.31.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Для $$x_n=\frac{a^n}{n!}$$ докажите, что: а) $$x_n>x_{n+1},\ n\ ?\ 2$$; в) существует $$\lim_{n\to\ ?}x_n$$; б) $$\lim_{n\to\ ?}\frac{x_{n+1}}{x_n}=0$$; г) $$\lim_{n\to\ ?}x_n=0$$.
2. Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$(a+1)x^2-4ax+2a+3=0$$: а) является линейным относительно $$x$$; б) имеет ровно один корень; в) имеет два различных корня; г) не имеет корней.

Рассмотрим последовательность $$x_n=\frac{2^n}{n!},\ n\in \mathbb{N}.$$

Найдём отношение соседних членов:

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}.$$

а) При $$n\ge 2$$ имеем $$n+1>2,$$ значит

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{2}{n+1}<1,$$

следовательно, $$x_{n+1}<x_n,$$ то есть $$x_n>x_{n+1}.$$

б)

$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0.$$

в) Так как $$x_n>0$$ и $$\frac{x_{n+1}}{x_n}\to 0, $$то последовательность имеет предел.

г) Пусть $$\lim_{n\to\infty}x_n=c.$$ Тогда

$$c=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(x_n\cdot\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)=c\cdot 0=0.$$

Значит, $$\lim_{n\to\infty}x_n=0.$$

Рассмотрим уравнение

$$(a+1)x^2-4ax+2a+3=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(-4a)^2-4(a+1)(2a+3) =16a^2-8a^2-20a-12 =8a^2-20a-12 =4(2a^2-5a-3).$$

Разложим на множители:

$$2a^2-5a-3=(2a+1)(a-3),$$

поэтому

$$D=4(2a+1)(a-3).$$

а) Уравнение является линейным, если $$a+1=0,$$ то есть

$$a=-1.$$

б) Уравнение имеет ровно один корень, если либо оно линейное, либо $$D=0.$$

$$D=0 \iff 4(2a+1)(a-3)=0 \iff a=-\frac12 \text{ или } a=3.$$

С учётом линейного случая получаем:

$$a=-1,\ -\frac12,\ 3.$$

в) Два различных корня бывают при $$D>0$$ и $$a\ne -1.$$ Тогда

$$4(2a+1)(a-3)>0.$$

Отсюда

$$a<-\frac12 \quad \text{или} \quad a>3,$$

но значение $$a=-1$$ исключаем, так как при нём уравнение линейное. Значит,

$$a\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,-\frac12\right)\cup(3,+\infty).$$

г) Корней нет, если $$D<0.$$ Тогда

$$4(2a+1)(a-3)<0,$$

то есть

$$-\frac12<a<3.$$

При этом $$a=-1$$ в этот промежуток не входит, значит дополнительных исключений нет.

Ответ

Для последовательности: а) $$x_n>x_{n+1}$$ при $$n\ge 2$$; б) $$0$$; в) предел существует; г) $$0$$.

Для уравнения: а) $$a=-1$$; б) $$a=-1,\ -\frac12,\ 3$$; в) $$a\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,-\frac12\right)\cup(3,+\infty)$$; г) $$a\in\left(-\frac12,3\right).$$