Упр.31.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Для $$x_n=\frac{2^n}{n!}$$ вычислите: а) $$x_1$$; б) $$x_2$$; в) $$x_4$$; г) $$\frac{x_{n+1}}{x_n}$$.
2. Найдите все значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$ax^2+6x-a+10=0$$: а) имеет два различных корня; б) имеет ровно один корень; в) не имеет действительных корней; г) имеет хотя бы один корень.

Вычислим значения последовательности $$x_n=\frac{2^n}{n!}$$:

$$x_1=\frac{2^1}{1!}=\frac{2}{1}=2,$$
$$x_2=\frac{2^2}{2!}=\frac{4}{2}=2,$$
$$x_4=\frac{2^4}{4!}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.$$

Найдём отношение соседних членов:

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}.$$

Рассмотрим уравнение

$$ax^2+6x-a+10=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:

$$D=6^2-4a(10-a)=36-40a+4a^2=4(a^2-10a+9)=4(a-1)(a-9).$$

Если $$a=0$$, уравнение становится линейным:

$$6x+10=0,$$

и имеет один корень.

Если $$a\ne 0$$, то:

• два различных корня, когда $$D>0$$, то есть $$4(a-1)(a-9)>0$$;
• ровно один корень, когда $$D=0$$, то есть $$4(a-1)(a-9)=0$$;
• нет действительных корней, когда $$D<0$$, то есть $$4(a-1)(a-9)<0$$;
• хотя бы один корень, когда $$D\ge 0$$ или $$a=0$$.

Решаем неравенства:

$$4(a-1)(a-9)>0 \iff a<1 \text{ или } a>9,$$

но нужно исключить $$a=0$$, так как при $$a=0$$ уравнение не квадратное и имеет один корень.

$$4(a-1)(a-9)=0 \iff a=1 \text{ или } a=9.$$

$$4(a-1)(a-9)<0 \iff 1<a<9.$$

$$4(a-1)(a-9)\ge 0 \iff a\le 1 \text{ или } a\ge 9,$$

и отдельно учитываем $$a=0$$, которое тоже даёт хотя бы один корень.

Ответ

а) $$x_1=2,$$ $$x_2=2,$$ $$x_4=\frac{2}{3},$$ $$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{2}{n+1}.$$
б) $$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(9;+\infty).$$
в) $$a=0,\,1,\,9.$$
г) $$a\in(-\infty;1]\cup[9;+\infty).$$