Упр.31.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) e^x > 1 + x;
б) e^x < 1 + x + x^2 / 2!;
в) e^x > 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3!;
г) e^x < 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + x^4 / 4!. При каких значениях параметра а уравнение a^2x-4x+6=a^2+a:
а) имеет ровно один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет положительный корень;
г) имеет более одного корня?
Пусть на промежутке $$(-\infty; a]$$ заданы функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$, причём $$f(a)=g(a)$$ и $$f'(x)<g'(x)$$. Тогда для функции $$h(x)=f(x)-g(x)$$ имеем $$h(a)=0$$ и $$h'(x)<0$$, значит, при $$x<a$$ выполняется $$h(x)>0$$, то есть $$f(x)>g(x)$$.
Аналогично, если $$f'(x)>g'(x)$$, то при $$x<a$$ получаем $$f(x)<g(x)$$.
Применим это к функциям $$e^x$$ и соответствующим многочленам.
а) $$e^x>1+x$$ при $$x<0$$.
Рассмотрим $$f(x)=e^x$$, $$g(x)=1+x$$. Тогда $$f(0)=g(0)=1$$, а $$f'(x)=e^x<1=g'(x)$$ при $$x<0$$. Следовательно, при $$x<0$$
$$e^x>1+x.$$
б) $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}$$ при $$x<0$$.
Пусть $$f(x)=e^x$$, $$g(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}$$. Тогда $$f(0)=g(0)=1$$, а
$$f'(x)=e^x,\qquad g'(x)=1+x.$$
При $$x<0$$ имеем $$e^x<1<1+x$$ неверно, поэтому сравним иначе: для функции
$$h(x)=g(x)-f(x)$$
получаем $$h(0)=0$$ и
$$h'(x)=1+x-e^x>0$$ при $$x<0$$,
значит, $$h(x)>0$$, то есть
$$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}.$$
в) $$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}$$ при $$x<0$$.
Пусть
$$f(x)=e^x,\qquad g(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}.$$
Тогда $$f(0)=g(0)=1$$, а
$$f'(x)=e^x,\qquad g'(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}.$$
По пункту б) при $$x<0$$ имеем $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2}$$, значит $$f'(x)<g'(x)$$. Следовательно, при $$x<0$$
$$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}.$$
г) $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}$$ при $$x<0$$.
Пусть
$$f(x)=e^x,\qquad g(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}.$$
Тогда $$f(0)=g(0)=1$$, а
$$f'(x)=e^x,\qquad g'(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}.$$
По пункту в) при $$x<0$$ имеем $$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}$$, то есть $$f'(x)>g'(x)$$. Значит, при $$x<0$$
$$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}.$$
Теперь решим уравнение
$$a^2x-4x+6=a^2+a.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x(a^2-4)=a^2+a-6.$$
Разложим на множители:
$$x(a-2)(a+2)=(a+3)(a-2).$$
Рассмотрим случаи.
1) $$a\neq 2$$ и $$a\neq -2$$. Тогда
$$x=\dfrac{a+3}{a+2}.$$
Это единственный корень.
2) $$a=2$$. Тогда
$$0\cdot x=0,$$
то есть уравнение верно при любом $$x$$, корней бесконечно много.
3) $$a=-2$$. Тогда
$$0\cdot x=-2,$$
что невозможно, корней нет.
Для положительного корня при $$a\neq \pm 2$$ нужно
$$\dfrac{a+3}{a+2}>0.$$
Это выполняется при
$$a<-3 \quad \text{или} \quad a>-2,$$
но при $$a=2$$ корней бесконечно много, а при $$a=-2$$ корней нет.
Более одного корня бывает только при $$a=2$$.
Ответ
а) при всех $$x<0$$ выполняется $$e^x>1+x$$;
б) при всех $$x<0$$ выполняется $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}$$;
в) при всех $$x<0$$ выполняется $$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}$$;
г) при всех $$x<0$$ выполняется $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}$$.
Для уравнения:
а) $$a\neq \pm 2$$ или $$a=2$$; то есть ровно один корень при $$a\neq \pm 2$$;
б) $$a=-2$$;
в) $$a<-3$$ или $$a>-2$$, причём $$a\neq 2$$;
г) $$a=2$$.
