Упр.31.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите аналог теоремы 1 для луча $$(-?;a]$$ и докажите, что при $$x<0$$:
   а) $$e^x>1+x$$;
   б) $$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}$$;
   в) $$e^x>1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}$$;
   г) $$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}$$.
2. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$a^2x-4x+6=a^2+a$$:
   а) имеет ровно один корень;
   б) не имеет корней;
   в) имеет положительный корень;
   г) имеет более одного корня?

Пусть на промежутке $$(-\infty; a]$$ заданы функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$, причём $$f(a)=g(a)$$ и $$f'(x)<g'(x)$$. Тогда для функции $$h(x)=f(x)-g(x)$$ имеем $$h(a)=0$$ и $$h'(x)<0$$, значит, при $$x<a$$ выполняется $$h(x)>0$$, то есть $$f(x)>g(x)$$.

Аналогично, если $$f'(x)>g'(x)$$, то при $$x<a$$ получаем $$f(x)<g(x)$$.

Применим это к функциям $$e^x$$ и соответствующим многочленам.

а) $$e^x>1+x$$ при $$x<0$$.

Рассмотрим $$f(x)=e^x$$, $$g(x)=1+x$$. Тогда $$f(0)=g(0)=1$$, а $$f'(x)=e^x<1=g'(x)$$ при $$x<0$$. Следовательно, при $$x<0$$

$$e^x>1+x.$$

б) $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}$$ при $$x<0$$.

Пусть $$f(x)=e^x$$, $$g(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}$$. Тогда $$f(0)=g(0)=1$$, а

$$f'(x)=e^x,\qquad g'(x)=1+x.$$

При $$x<0$$ имеем $$e^x<1<1+x$$ неверно, поэтому сравним иначе: для функции

$$h(x)=g(x)-f(x)$$

получаем $$h(0)=0$$ и

$$h'(x)=1+x-e^x>0$$ при $$x<0$$,

значит, $$h(x)>0$$, то есть

$$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}.$$

в) $$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}$$ при $$x<0$$.

Пусть

$$f(x)=e^x,\qquad g(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}.$$

Тогда $$f(0)=g(0)=1$$, а

$$f'(x)=e^x,\qquad g'(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}.$$

По пункту б) при $$x<0$$ имеем $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2}$$, значит $$f'(x)<g'(x)$$. Следовательно, при $$x<0$$

$$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}.$$

г) $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}$$ при $$x<0$$.

Пусть

$$f(x)=e^x,\qquad g(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}.$$

Тогда $$f(0)=g(0)=1$$, а

$$f'(x)=e^x,\qquad g'(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}.$$

По пункту в) при $$x<0$$ имеем $$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}$$, то есть $$f'(x)>g'(x)$$. Значит, при $$x<0$$

$$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}.$$

Теперь решим уравнение

$$a^2x-4x+6=a^2+a.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x(a^2-4)=a^2+a-6.$$

Разложим на множители:

$$x(a-2)(a+2)=(a+3)(a-2).$$

Рассмотрим случаи.

1) $$a\neq 2$$ и $$a\neq -2$$. Тогда

$$x=\dfrac{a+3}{a+2}.$$

Это единственный корень.

2) $$a=2$$. Тогда

$$0\cdot x=0,$$

то есть уравнение верно при любом $$x$$, корней бесконечно много.

3) $$a=-2$$. Тогда

$$0\cdot x=-2,$$

что невозможно, корней нет.

Для положительного корня при $$a\neq \pm 2$$ нужно

$$\dfrac{a+3}{a+2}>0.$$

Это выполняется при

$$a<-3 \quad \text{или} \quad a>-2,$$

но при $$a=2$$ корней бесконечно много, а при $$a=-2$$ корней нет.

Более одного корня бывает только при $$a=2$$.

Ответ

а) при всех $$x<0$$ выполняется $$e^x>1+x$$;

б) при всех $$x<0$$ выполняется $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}$$;

в) при всех $$x<0$$ выполняется $$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}$$;

г) при всех $$x<0$$ выполняется $$e^x<1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}$$.

Для уравнения:

а) $$a\neq \pm 2$$ или $$a=2$$; то есть ровно один корень при $$a\neq \pm 2$$;

б) $$a=-2$$;

в) $$a<-3$$ или $$a>-2$$, причём $$a\neq 2$$;

г) $$a=2$$.