Упр.31.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите неравенство при $$x>0$$:
а) $$e^x<1+x\cdot e^x$$;
б) $$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}\cdot e^x$$;
в) $$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdot e^x$$;
г) $$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot e^x$$, используя метод математической индукции.
Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых прямая $$y=(a+2)x+3-2a$$:
а) пересекает ось Оу в точке, расположенной выше начала координат;
б) пересекает ось Ох в точке, расположенной левее начала координат;
в) пересекает ось Оу в точке, расположенной выше точки $$(0;-3)$$ и ниже точки $$(0;-2)$$;
г) пересекает ось Ох в точке, расположенной правее точки $$(2;0)$$ и левее точки $$(4;0)$$.

Подробный ответ

Докажем неравенства методом математической индукции.
а) Рассмотрим функции $$f(x)=e^x$$ и $$g(x)=1+xe^x.$$
При $$x=0$$ имеем $$f(0)=1,\quad g(0)=1.$$
Найдём производные:
$$f'(x)=e^x,\qquad g'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x).$$
Так как при $$x>0$$ выполняется $$1+x>1,$$ то
$$f'(x)=e^x<e^x(1+x)=g'(x).$$
Следовательно, $$f(x)<g(x),$$ то есть
$$e^x<1+xe^x.$$
б) Пусть $$f(x)=e^x,$$ $$g(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}e^x.$$
При $$x=0$$: $$f(0)=1,\quad g(0)=1.$$
Производные:
$$f'(x)=e^x,$$
$$g'(x)=1+xe^x+\frac{x^2}{2}e^x.$$
Из пункта а) уже известно, что при $$x>0$$
$$e^x<1+xe^x.$$
Кроме того, $$\frac{x^2}{2}e^x>0,$$ значит
$$f'(x)<g'(x).$$
Следовательно,
$$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}e^x.$$
в) Пусть $$f(x)=e^x,$$
$$g(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}e^x.$$
При $$x=0$$: $$f(0)=1,\quad g(0)=1.$$
Производные:
$$f'(x)=e^x,$$
$$g'(x)=1+x+\frac{x^2}{2}e^x+\frac{x^3}{3!}e^x.$$
По пункту б) при $$x>0$$
$$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}e^x,$$
а так как $$\frac{x^3}{3!}e^x>0,$$ то
$$f'(x)<g'(x).$$
Значит,
$$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}e^x.$$
г) Для
$$g(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^x$$
при $$x=0$$ имеем $$f(0)=1,\quad g(0)=1.$$
Производные:
$$f'(x)=e^x,$$
$$g'(x)=1+x+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}e^x+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^x.$$
По предположению индукции
$$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}e^x,$$
а поскольку $$\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^x>0$$ при $$x>0,$$ то
$$f'(x)<g'(x).$$
Следовательно,
$$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^x.$$

Ответ

а) $$e^x<1+xe^x$$;
б) $$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}e^x$$;
в) $$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}e^x$$;
г) $$e^x<1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^x.$$

Дана прямая $$y=(a+2)x+3-2a.$$
а) Точка пересечения с осью $$Oy$$ имеет координату $$y(0)=3-2a.$$
Чтобы она была выше начала координат, нужно
$$3-2a>0,$$
$$a<\frac{3}{2}.$$
б) Точка пересечения с осью $$Ox$$ находится из уравнения
$$0=(a+2)x+3-2a,$$
$$x=\frac{2a-3}{a+2}.$$
Нужно, чтобы $$x<0$$. Тогда числитель и знаменатель должны иметь разные знаки:
$$-2<a<\frac{3}{2}.$$
в) Точка пересечения с осью $$Oy$$ должна лежать между точками $$\left(0;-3\right)$$ и $$\left(0;-2\right),$$ то есть
$$-3<3-2a<-2.$$
Решаем двойное неравенство:
$$-6<-2a<-5,$$
$$3>a>\frac{5}{2}.$$
Значит,
$$\frac{5}{2}<a<3.$$
г) Точка пересечения с осью $$Ox$$ должна лежать правее точки $$\left(2;0\right)$$ и левее точки $$\left(4;0\right),$$ то есть
$$2<\frac{2a-3}{a+2}<4.$$
Решаем по частям.
1) $$\frac{2a-3}{a+2}>2$$
$$2a-3>2a+4,$$
что невозможно.
Следовательно, таких значений параметра нет.