Упр.31.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ln(1 + x) < x; в) ln(1 + x) < x - x^2 / 2 + x^3 / 3; б) x - x^2 / 2 < ln(1 + x); г) x - x^2 / 2 + x^3 / 3 - x^4 / 4 < ln(1 + x). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение ax-x-1=a^2-2: а) имеет ровно один корень; б) имеет хотя бы один положительный корень; в) не имеет корней; г) имеет более одного корня.

Обозначим $$f(x)=\ln(1+x), \qquad x>0.$$ Тогда $$f(0)=\ln 1=0.$$

Рассмотрим вспомогательные функции и их производные.

1. а) $$\ln(1+x)<x.$$

   Пусть $$g(x)=x.$$ Тогда $$g(0)=0,$$ $$f'(x)=\frac1{x+1}, \qquad g'(x)=1.$$

   При $$x>0$$ имеем $$\frac1{x+1}<1,$$ значит $$f'(x)<g'(x).$$ Так как в точке $$x=0$$ функции равны, то при $$x>0$$ получаем $$f(x)<g(x).$$

2. б) $$x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x).$$

   Пусть $$g(x)=x-\frac{x^2}{2}.$$ Тогда $$g(0)=0,$$ $$g'(x)=1-x.$$

   Сравним производные:

   $$g'(x)=1-x<\frac1{x+1}=f'(x) \quad \text{при } x>0,$$

   так как

   $$1-x<\frac1{x+1} \iff (1-x)(x+1)<1 \iff 1-x^2<1,$$

   а это верно при $$x>0.$$ Следовательно, $$g(x)<f(x),$$ то есть

   $$x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x).$$

3. в) $$\ln(1+x)<x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$

   Пусть $$g(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$ Тогда $$g(0)=0,$$

   $$g'(x)=1-x+x^2.$$

   Сравним с $$f'(x)=\frac1{x+1}:$$

   $$\frac1{x+1}<1-x+x^2 \iff 1<(x+1)(1-x+x^2).$$

   Но

   $$ (x+1)(1-x+x^2)=x^3+1, $$

   поэтому при $$x>0$$ имеем $$x^3+1>1.$$ Значит, $$f'(x)<g'(x),$$ а следовательно,

   $$\ln(1+x)<x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$

4. г) $$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}<\ln(1+x).$$

   Пусть $$g(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}.$$ Тогда $$g(0)=0,$$

   $$g'(x)=1-x+x^2-x^3.$$

   Сравним с $$f'(x)=\frac1{x+1}:$$

   $$1-x+x^2-x^3<\frac1{x+1} \iff (x+1)(1-x+x^2-x^3)<1.$$

   Но

   $$ (x+1)(1-x+x^2-x^3)=1-x^4, $$

   а при $$x>0$$ имеем $$1-x^4<1.$$ Следовательно, $$g'(x)<f'(x),$$ значит

   $$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}<\ln(1+x).$$

Теперь рассмотрим уравнение

$$ax-x-1=a^2-2.$$

Преобразуем его:

$$x(a-1)=a^2-1=(a-1)(a+1).$$

Если $$a\ne 1,$$ то

$$x=a+1.$$

Если $$a=1,$$ то получаем $$-x-1=-1,$$ откуда $$x=0.$$

1. а) Уравнение имеет ровно один корень при любом $$a$$, так как при $$a\ne 1$$ корень единственный $$x=a+1,$$ а при $$a=1$$ корень тоже единственный $$x=0.$$

2. б) Уравнение имеет хотя бы один положительный корень, если

   $$x=a+1>0 \iff a>-1,$$

   а при $$a=1$$ корень $$x=0$$ не положительный. Значит, условие выполняется при

   $$a>-1,\ a\ne 1.$$

3. в) Уравнение не имеет корней, если корень $$x=a+1$$ не существует. Это возможно только при противоречии в преобразовании, но здесь при любом $$a$$ уравнение имеет решение. Следовательно, таких значений $$a$$ нет.

4. г) Уравнение имеет более одного корня только тогда, когда это возможно по исходному уравнению. Но полученное линейное уравнение имеет не более одного корня при любом $$a$$. Значит, таких значений $$a$$ нет.

Ответ

а) $$\ln(1+x)<x$$; б) $$x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)$$; в) $$\ln(1+x)<x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$$; г) $$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}<\ln(1+x)$$ при $$x>0$$.

Для уравнения: а) при любом $$a$$; б) $$a>-1,\ a\ne 1$$; в) таких $$a$$ нет; г) таких $$a$$ нет.