Упр.31.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) При каких значениях параметра а уравнение x^3-12x+1=a имеет ровно три корня?

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=3x^4+4x^3-12x^2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=12x^3+12x^2-24x=12x(x^2+x-2)=12x(x+2)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$ f'(x)>0 \text{ на } (-2,0)\cup(1,+\infty),\\ f'(x)<0 \text{ на } (-\infty,-2)\cup(0,1). $$

Значит, в точках $$x=-2$$ и $$x=1$$ — минимумы, а в точке $$x=0$$ — максимум.

Вычислим значения функции в этих точках:

$$ f(-2)=3\cdot 16+4\cdot(-8)-12\cdot 4=48-32-48=-32, $$
$$ f(0)=0, $$
$$ f(1)=3+4-12=-5. $$

Чтобы уравнение $$3x^4+4x^3-12x^2=a$$ имело не менее трёх корней, прямая $$y=a$$ должна пересекать график функции не менее чем в трёх точках. Это происходит при

$$-5\le a\le 0.$$

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=x^3-12x+1.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).$$

Критические точки: $$x=-2,\;2.$$

Исследуем знак производной:

$$ g'(x)>0 \text{ на } (-\infty,-2)\cup(2,+\infty),\\ g'(x)<0 \text{ на } (-2,2). $$

Следовательно, в точке $$x=-2$$ достигается максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

Вычислим значения:

$$ g(-2)=-8+24+1=17, $$
$$ g(2)=8-24+1=-15. $$

Уравнение $$x^3-12x+1=a$$ имеет ровно три корня тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ проходит между значениями локального максимума и минимума, не совпадая с ними:

$$-15<a<17.$$