Упр.31.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) уравнение 11^(2x)-6·11^x+a-3=0 имеет единственный корень;
б) уравнение (4/9)^x-2(a+1)·(2/3)^x+4=0 не имеет корней.
а) Рассмотрим уравнение
$$11^{2x}-6\cdot 11^x+a-3=0.$$
Сделаем замену $$t=11^x,$$ тогда $$t>0$$ и получаем квадратное уравнение
$$t^2-6t+a-3=0.$$
Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение по переменной $$t$$ должно иметь либо один положительный корень, либо два корня, из которых только один положительный.
Найдём дискриминант:
$$D=36-4(a-3)=48-4a=4(12-a).$$
Тогда
$$t_{1,2}=3\pm \sqrt{12-a}.$$
1) Если $$D=0,$$ то
$$12-a=0,\quad a=12,$$
и корень один: $$t=3>0.$$
2) Если $$D>0,$$ то нужно, чтобы только один из корней был положительным:
$$3-\sqrt{12-a}\le 0,\qquad 3+\sqrt{12-a}>0.$$
Из первого неравенства получаем
$$\sqrt{12-a}\ge 3 \;\Longrightarrow\; 12-a\ge 9 \;\Longrightarrow\; a\le 3.$$
С учётом условия существования корней $$D\ge 0$$ имеем
$$a\le 12.$$
Итак, при $$a\le 3$$ уравнение имеет единственный корень, а при $$a=12$$ тоже имеет единственный корень.
Значит,
$$a\in(-\infty;3]\cup\{12\}.$$
б) Рассмотрим уравнение
$$\left(\frac49\right)^x-2(a+1)\left(\frac23\right)^x+4=0.$$
Положим $$t=\left(\frac23\right)^x,$$ тогда $$t>0$$ и
$$\left(\frac49\right)^x=\left(\frac23\right)^{2x}=t^2.$$
Получаем квадратное уравнение
$$t^2-2(a+1)t+4=0.$$
Чтобы исходное уравнение не имело корней, квадратное уравнение по $$t$$ не должно иметь положительных корней.
Найдём дискриминант:
$$D=4(a+1)^2-16=4\bigl((a+1)^2-4\bigr)=4(a+3)(a-1).$$
Если $$D<0,$$ то корней нет. Тогда
$$a^2+2a-3<0,$$
$$ (a+3)(a-1)<0,$$
откуда
$$-3<a<1.$$
Если $$D\ge 0,$$ то корни равны
$$t=a+1\pm \sqrt{a^2+2a-3}.$$
Чтобы положительных корней не было, достаточно и необходимо, чтобы больший корень был неположительным:
$$a+1+\sqrt{a^2+2a-3}\le 0.$$
Но при $$D\ge 0$$ это возможно только при $$a\le -1,$$ а вместе с условием $$a^2+2a-3\ge 0$$ получаем
$$a\le -3.$$
Итак, уравнение не имеет корней при
$$a<1.$$
Ответ
а) $$(-\infty;3]\cup\{12\}$$; б) $$(-\infty;1).$$
