Упр.31.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) не имеет корней;
б) имеет четыре корня?

Рассмотрим функцию

$$y=x^4-6x^2+3.$$

Найдём её экстремумы:

$$y’ = 4x^3-12x = 4x(x^2-3)=4x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3).$$

Критические точки: $$x=-\sqrt3,\;0,\;\sqrt3.$$

Вычислим значения функции в них:

$$y(-\sqrt3)=9-6\cdot 3+3=-6,$$

$$y(0)=3,$$

$$y(\sqrt3)=9-6\cdot 3+3=-6.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-6,$$ а наибольшее из локальных максимумов — $$3.$$

Теперь рассмотрим уравнение

$$x^4-6x^2+3=a.$$

Это означает, что нужно найти точки пересечения графика функции $$y=x^4-6x^2+3$$ с прямой $$y=a.$$

а) Уравнение не имеет корней, если прямая $$y=a$$ лежит ниже наименьшего значения функции:

$$a<-6.$$

б) Уравнение имеет четыре корня, если прямая $$y=a$$ пересекает график в четырёх точках, то есть проходит между минимумом и максимумом:

$$-6<a<3.$$

Ответ

а) $$a<-6$$;

б) $$-6<a<3$$.