Упр.31.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 27·3^x+16=a+a·3^(x+2);
б) 49^x-2a·7^(x+1)+9=0?

а) Преобразуем уравнение:

$$27\cdot 3^x+16=a+a\cdot 3^{x+2}$$

$$27\cdot 3^x+16=a+9a\cdot 3^x$$

$$9\cdot 3^x(3-a)=a-16$$

$$3^x=\frac{a-16}{9(3-a)}$$

Так как $$3^x>0$$ при любом $$x$$, уравнение не имеет корней, если правая часть не положительна или знаменатель равен нулю:

$$\frac{a-16}{9(3-a)}\le 0,\quad a\ne 3$$

Это равносильно неравенству

$$\frac{a-16}{3-a}\le 0$$

или

$$\frac{(a-16)(a-3)}{3-a}\ge 0$$

Удобнее рассмотреть знаки числителя и знаменателя. Получаем:

$$a\le 3 \quad \text{или} \quad a\ge 16.$$

б) Сделаем замену:

$$t=7^x,\quad t>0.$$

Тогда

$$49^x-2a\cdot 7^{x+1}+9=0$$

$$7^{2x}-14a\cdot 7^x+9=0$$

$$t^2-14at+9=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней по $$x$$, квадратное уравнение по $$t$$ не должно иметь положительных корней.

1) Если дискриминант отрицателен, корней нет:

$$D=(14a)^2-4\cdot 9=4(49a^2-9)<0$$

$$49a^2-9<0$$

$$-\frac{3}{7}<a<\frac{3}{7}.$$

2) Если $$D\ge 0$$, то корни по $$t$$ равны

$$t_{1,2}=7a\pm \sqrt{49a^2-9}.$$

Чтобы положительных корней не было, достаточно, чтобы больший корень был неположительным:

$$7a+\sqrt{49a^2-9}\le 0.$$

Это возможно только при $$a\le -\frac{3}{7}$$.

Итак, уравнение не имеет корней при

$$a\le -\frac{3}{7}\quad \text{или} \quad -\frac{3}{7}<a<\frac{3}{7}.$$

Следовательно,

$$a<\frac{3}{7}.$$

Ответ

а) $$(-\infty;3]\cup[16;+\infty)$$;

б) $$(-\infty;\frac{3}{7})$$.