Упр.31.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите все положительные значения параметра а, при которых уравнение (log_8(a))x^2+(2log_8(a)+1)x+log_8(a)-3=0 не имеет корней.

а) Обозначим $$t=\log_5 a.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$tx^2-(2t-3)x+t-2{,}5=0.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, возможны два случая:

• либо это квадратное уравнение с $$D=0$$;
• либо оно становится линейным, то есть $$t=0$$.

Найдём дискриминант:

$$ D=(2t-3)^2-4t(t-2{,}5) =4t^2-12t+9-4t^2+10t =-2t+9. $$

Приравниваем к нулю:

$$-2t+9=0,\qquad t=\frac92.$$

Тогда

$$\log_5 a=\frac92,\qquad a=5^{9/2}.$$

Если $$t=0,$$ то

$$\log_5 a=0,\qquad a=1,$$

и уравнение становится линейным, значит, имеет единственный корень.

б) Обозначим $$t=\log_8 a.$$ Тогда уравнение имеет вид

$$tx^2+(2t+1)x+t-3=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы либо оно было квадратным и $$D<0,$$ либо стало линейным без корней.

Найдём дискриминант:

$$ D=(2t+1)^2-4t(t-3) =4t^2+4t+1-4t^2+12t =16t+1. $$

Требуем

$$16t+1<0,\qquad t<-\frac1{16}.$$

Значит,

$$\log_8 a<-\frac1{16},\qquad a<8^{-1/16}.$$

Если $$t=0,$$ то $$a=1,$$ и уравнение превращается в линейное:

$$x-3=0,$$

то есть корень есть, поэтому $$a=1$$ не подходит.

Ответ

а) $$a\in\{1;\,5^{9/2}\}.$$

б) $$0<a<8^{-1/16}.$$