Упр.31.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) первого координатного угла;
б) третьего координатного угла;
в) второго координатного угла;
г) четвёртого координатного угла?

Подробный ответ

Найдём координаты вершины параболы $$y=(2a-1)x^2-4x+3.$$

Если $$2a-1\ne 0,$$ то абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{-4}{2(2a-1)}=\frac{2}{2a-1}.$$

Ордината вершины:

$$y_0=f(x_0)=3-\frac{4}{2a-1}=\frac{6a-7}{2a-1}.$$

Чтобы вершина лежала внутри координатного угла, нужно, чтобы знаки $$x_0$$ и $$y_0$$ соответствовали этому углу.

Первый координатный угол: $$x_0>0,\ y_0>0.$$
$$\frac{2}{2a-1}>0,\qquad \frac{6a-7}{2a-1}>0.$$
Из первого неравенства получаем $$a>\frac12.$$ Тогда из второго:
$$6a-7>0 \quad \Rightarrow \quad a>\frac76.$$
Значит, $$a\in\left(\frac76;+\infty\right).$$
Третий координатный угол: $$x_0<0,\ y_0<0.$$
$$\frac{2}{2a-1}<0,\qquad \frac{6a-7}{2a-1}<0.$$
Из первого неравенства $$a<\frac12.$$ Тогда во втором при $$2a-1<0$$ нужно, чтобы $$6a-7>0,$$ то есть $$a>\frac76,$$ что невозможно одновременно с $$a<\frac12.$$
Таких значений параметра нет.
Второй координатный угол: $$x_0<0,\ y_0>0.$$
$$\frac{2}{2a-1}<0,\qquad \frac{6a-7}{2a-1}>0.$$
Из первого неравенства $$a<\frac12.$$ Тогда для второго нужно $$6a-7<0,$$ то есть $$a<\frac76.$$
Итак, $$a\in(-\infty;\frac12).$$
Четвёртый координатный угол: $$x_0>0,\ y_0<0.$$
$$\frac{2}{2a-1}>0,\qquad \frac{6a-7}{2a-1}<0.$$
Из первого неравенства $$a>\frac12.$$ Тогда из второго получаем $$6a-7<0,$$ то есть $$a<\frac76.$$
Следовательно, $$a\in\left(\frac12;\frac76\right).$$