Упр.31.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (x-a)v(2x-3)?0; в) (3x-4)v(x-a)?0;
б) (x-a)lg(2x-3)?0; г) (3x-4)lg(x-a)?0.
а) $$\left(x-a\right)\sqrt{2x-3}\ge 0.$$
Область определения:
$$2x-3\ge 0,\quad x\ge \frac32.$$
Так как $$\sqrt{2x-3}\ge 0,$$ то произведение неотрицательно, когда $$x-a\ge 0,$$ либо когда корень равен нулю.
Если $$a\le \frac32,$$ то при всех $$x\ge \frac32$$ неравенство выполняется.
Если $$a>\frac32,$$ то нужно $$x\ge a,$$ а также отдельно $$x=\frac32.$$
Итак,
$$ \begin{cases} a\le \frac32: & x\ge \frac32,\\ a>\frac32: & x=\frac32 \text{ или } x\ge a. \end{cases} $$
б) $$\left(x-a\right)\lg(2x-3)\ge 0.$$
Преобразуем логарифм:
$$\lg(2x-3)\ge 0 \iff 2x-3\ge 1 \iff x\ge 2,$$
а при $$1<2x-3<1$$ логарифм отрицателен. Удобнее записать:
$$\lg(2x-3)=\lg\bigl(2(x-\tfrac32)\bigr),$$
но для решения достаточно учесть область определения:
$$2x-3>0,\quad x>\frac32.$$
Нули множителей: $$x=a$$ и $$x=2.$$
Рассматриваем знаки на области определения.
Получаем:
$$ \begin{cases} a\le \frac32: & x\ge 2,\\ \frac32<a\le 2: & \frac32<x\le a \text{ или } x\ge 2,\\ a>2: & \frac32<x\le 2 \text{ или } x\ge a. \end{cases} $$
в) $$\left(3x-4\right)\sqrt{x-a}\le 0.$$
Область определения:
$$x-a\ge 0,\quad x\ge a.$$
Так как $$\sqrt{x-a}\ge 0,$$ то произведение не положительно, когда $$3x-4\le 0,$$ либо когда корень равен нулю.
$$3x-4\le 0 \iff x\le \frac43.$$
Если $$a\le \frac43,$$ то на отрезке $$a\le x\le \frac43$$ неравенство выполняется.
Если $$a>\frac43,$$ то решений нет.
Итак,
$$ \begin{cases} a\le \frac43: & a\le x\le \frac43,\\ a>\frac43: & \text{решений нет}. \end{cases} $$
г) $$\left(3x-4\right)\lg(x-a)\le 0.$$
Область определения:
$$x-a>0,\quad x>a.$$
Пусть $$t=x-a.$$ Тогда $$\lg(x-a)=\lg t.$$ Нуль логарифма достигается при $$t=1,$$ то есть при $$x=a+1.$$
Также
$$3x-4\le 0 \iff x\le \frac43.$$
Рассматриваем расположение точек $$a+1$$ и $$\frac43.$$
Получаем:
$$ \begin{cases} a\le \frac13: & a+1\le x\le \frac43,\\ \frac13<a<\frac43: & \frac43\le x\le a+1,\\ a\ge \frac43: & a<x\le a+1. \end{cases} $$
Ответ
а) $$\begin{cases} a\le \frac32: & x\ge \frac32,\\ a>\frac32: & x=\frac32 \text{ или } x\ge a \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} a\le \frac32: & x\ge 2,\\ \frac32<a\le 2: & \frac32<x\le a \text{ или } x\ge 2,\\ a>2: & \frac32<x\le 2 \text{ или } x\ge a \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} a\le \frac43: & a\le x\le \frac43,\\ a>\frac43: & \text{решений нет} \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} a\le \frac13: & a+1\le x\le \frac43,\\ \frac13<a<\frac43: & \frac43\le x\le a+1,\\ a\ge \frac43: & a<x\le a+1 \end{cases}$$
