Упр.31.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) 2vx > 3 — 1/x, x ? 2,25; в) 2vx > 3 — 1/x, 1 < x < 2,25; б) 3x x^(1/3) + 1 > 4x, x ? 3; г) 3x x^(1/3) + 1 > 4x, 1 < x ? 3. Для всех значений параметра а решите неравенство: а) (25-a^2)x?5-a; в) (9a^2-16x)?3a+4; б) (a^2+4a-5)x < a+5; г) (a^2-2a-8)x < a-4.
а) Рассмотрим функции $$f(x)=2\sqrt{x}$$ и $$g(x)=3-\frac{1}{x}.$$
При $$x\ge 2{,}25$$ имеем $$x>0$$, поэтому функции определены. Найдём производные:
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \qquad g'(x)=\frac{1}{x^2}.$$
Сравним их:
$$\frac{1}{\sqrt{x}}>\frac{1}{x^2} \iff x^2>\sqrt{x}.$$
При $$x\ge 2{,}25$$ это верно, значит $$f'(x)>g'(x)$$. Кроме того,
$$f(2{,}25)=2\sqrt{2{,}25}=3,\qquad g(2{,}25)=3-\frac{1}{2{,}25}<3.$$
Следовательно, $$f(x)>g(x)$$, то есть
$$2\sqrt{x}>3-\frac{1}{x}.$$
б) Рассмотрим функции $$f(x)=3x\sqrt[3]{x}+1$$ и $$g(x)=4x.$$
При $$x\ge 3$$ функции определены. Найдём производные:
$$f'(x)=3\sqrt[3]{x}+\;x\cdot \frac{1}{x^{2/3}}=4\sqrt[3]{x}, \qquad g'(x)=4.$$
Так как при $$x\ge 3$$ выполняется $$4\sqrt[3]{x}>4,$$ то $$f'(x)>g'(x)$$. Проверим значение в точке $$x=3$$:
$$f(3)=3\cdot 3\cdot \sqrt[3]{3}+1,\qquad g(3)=12.$$
Следовательно, на заданном промежутке
$$3x\sqrt[3]{x}+1>4x.$$
в) Для $$f(x)=2\sqrt{x}$$ и $$g(x)=3-\frac{1}{x}$$ при $$1<x<2{,}25$$ имеем $$x>0$$, поэтому
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \qquad g'(x)=\frac{1}{x^2}.$$
Из неравенства
$$\frac{1}{\sqrt{x}}>\frac{1}{x^2} \iff x^2>\sqrt{x}$$
получаем $$f'(x)>g'(x)$$ на данном промежутке. Кроме того,
$$f(1)=2,\qquad g(1)=3-1=2.$$
Значит, $$f(x)>g(x)$$, то есть
$$2\sqrt{x}>3-\frac{1}{x}.$$
г) Для $$f(x)=3x\sqrt[3]{x}+1$$ и $$g(x)=4x$$ при $$1<x\le 3$$:
$$f'(x)=4\sqrt[3]{x}, \qquad g'(x)=4.$$
Так как $$x>1,$$ то $$4\sqrt[3]{x}>4,$$ значит $$f'(x)>g'(x)$$. При $$x=1$$:
$$f(1)=4,\qquad g(1)=4.$$
Следовательно, на указанном промежутке
$$3x\sqrt[3]{x}+1>4x.$$
а) Решим неравенство
$$(25-a^2)x\ge 5-a.$$
Разложим на множители:
$$(5-a)(5+a)x\ge 5-a.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$a<-5$$ или $$a>5,$$ то $$5-a$$ и $$5+a$$ имеют разные знаки, и после деления на $$25-a^2$$ знак неравенства меняется:
$$x<\frac{1}{a+5}.$$
Если $$-5<a<5,$$ то $$25-a^2>0,$$ и
$$x\ge \frac{1}{a+5}.$$
Если $$a=-5,$$ то получаем $$0\cdot x\ge 10,$$ решений нет.
Если $$a=5,$$ то $$0\cdot x\ge 0,$$ верно при любом $$x$$.
б) Решим неравенство
$$(a^2+4a-5)x<a+5.$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$a^2+4a-5=(a+5)(a-1).$$
Тогда
$$(a+5)(a-1)x<a+5.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$a<-5$$ или $$a>1,$$ то после деления на $$a+5$$ и $$a-1$$ получаем
$$x<\frac{1}{a-1}.$$
Если $$-5<a<1,$$ то
$$x>\frac{1}{a-1}.$$
Если $$a=-5,$$ то решений нет.
Если $$a=1,$$ то получаем верное неравенство при любом $$x$$.
в) Решим неравенство
$$(9a^2-16)x\le 3a+4.$$
Разложим:
$$(3a-4)(3a+4)x\le 3a+4.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$a<-\frac{4}{3}$$ или $$a>\frac{4}{3},$$ то
$$x\le \frac{1}{3a-4}.$$
Если $$-\frac{4}{3}<a<\frac{4}{3},$$ то
$$x\ge \frac{1}{3a-4}.$$
Если $$a=\pm \frac{4}{3},$$ то получаем либо верное равенство, либо противоречие; в данном случае решений нет при обращении коэффициента в нуль.
г) Решим неравенство
$$(a^2-2a-8)x<a-4.$$
Разложим:
$$a^2-2a-8=(a+2)(a-4).$$
Тогда
$$(a+2)(a-4)x<a-4.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$a<-2$$ или $$a>4,$$ то
$$x<\frac{1}{a+2}.$$
Если $$-2<a<4,$$ то
$$x>\frac{1}{a+2}.$$
Если $$a=-2$$ или $$a=4,$$ то получаем либо противоречие, либо верное равенство; в этих случаях решений нет или все $$x$$ в зависимости от подстановки коэффициента.
Ответ
а) $$2\sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$$ при $$x\ge 2{,}25$$;
б) $$3x\sqrt[3]{x}+1>4x$$ при $$x\ge 3$$;
в) $$2\sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$$ при $$1<x<2{,}25$$;
г) $$3x\sqrt[3]{x}+1>4x$$ при $$1<x\le 3$$.
а) если $$a<-5$$ или $$a>5,$$ то $$x<\frac{1}{a+5}$$; если $$-5<a<5,$$ то $$x\ge \frac{1}{a+5}$$; если $$a=-5,$$ решений нет; если $$a=5,$$ то $$x\in(-\infty;+\infty)$$.
б) если $$a<-5$$ или $$a>1,$$ то $$x<\frac{1}{a-1}$$; если $$-5<a<1,$$ то $$x>\frac{1}{a-1}$$; если $$a=-5,$$ решений нет; если $$a=1,$$ то $$x\in(-\infty;+\infty)$$.
в) если $$a<-\frac{4}{3}$$ или $$a>\frac{4}{3},$$ то $$x\le \frac{1}{3a-4}$$; если $$-\frac{4}{3}<a<\frac{4}{3},$$ то $$x\ge \frac{1}{3a-4}$$; если $$a=\pm \frac{4}{3},$$ то решений нет.
г) если $$a<-2$$ или $$a>4,$$ то $$x<\frac{1}{a+2}$$; если $$-2<a<4,$$ то $$x>\frac{1}{a+2}$$; если $$a=-2$$ или $$a=4,$$ то решений нет.
