Упр.31.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) содержит число 0;
б) содержит число 0, но не содержит число 1;
в) не содержит положительных чисел;
г) содержит ровно три натуральных числа.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{6x-2}{x+1}.$$

Чтобы число принадлежало множеству решений неравенства $$\frac{6x-2}{x+1}<a,$$ нужно, чтобы при подстановке этого числа неравенство выполнялось.

а) Множество решений содержит число $$0$$, если

$$\frac{6\cdot 0-2}{0+1}<a,$$

$$-2<a.$$

Значит,

$$a\in(-2;+\infty).$$

б) Множество решений содержит число $$0,$$ но не содержит число $$1.$$

Для $$x=0$$ должно выполняться

$$-2<a.$$

Для $$x=1$$ неравенство не должно выполняться:

$$\frac{6\cdot 1-2}{1+1}\ge a,$$

$$2\ge a.$$

Совмещая условия, получаем

$$-2<a\le 2.$$

в) Множество решений не содержит положительных чисел, то есть при всех $$x>0$$ неравенство должно быть неверным:

$$\frac{6x-2}{x+1}\ge a.$$

Для положительных $$x$$ функция $$\frac{6x-2}{x+1}$$ возрастает, поэтому наименьшее значение при $$x>0$$ стремится к $$-2$$, а значит, чтобы не было положительных решений, нужно

$$a\le -2.$$

Следовательно,

$$a\in(-\infty;-2].$$

г) Множество решений содержит ровно три натуральных числа. Проверим натуральные числа по порядку:

$$x=1:\quad \frac{6\cdot 1-2}{1+1}=2,$$

$$x=2:\quad \frac{6\cdot 2-2}{2+1}=\frac{10}{3},$$

$$x=3:\quad \frac{6\cdot 3-2}{3+1}=4{,}\\$$

$$x=4:\quad \frac{6\cdot 4-2}{4+1}=\frac{22}{5}=4{,}4.$$

Чтобы решениями были ровно три натуральных числа, нужно, чтобы выполнялось

$$x=1,\;2,\;3,$$

но не выполнялось для $$x=4.$$ Тогда

$$4<a\le 4{,}4.$$